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二维热传导方程数值解及MATLAB实现.docx
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二维热传导方程数值解及MATLAB实现.docx
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目
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第一章 绪论 ......................................................................................................................................................................I
1. 1 课题背景和意义.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .... ...... ........................................I
1. 2 课题研究现状 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .... ...... .......................................................I
1. 3 课题要求 ..................................................................................................................................................II
1. 4 课题解决 . .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .......II
1. 5 论文结构安排 ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......III
第二章 有限元法及偏微分方程解法理论分析 ... .. . .. . .. ... ... ... ... .. . .. . .. ... ... ... .. . .. . .. . .. ... ... ... .. . .. . .. ... ... ... ... IV
2. 1 有限元基本知识介绍 .......................................................................................................................IV
2. 2 求解二维热传导方程的基本思想 ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... .. ..... ..V
2. 2. 1 将定解区域离散 ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. V
2. 2. 2 插值函数的选择..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .VI
2. 2. 3 方程组的建立 ........................................................... ...... .... .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. VI
2. 2. 4 方程组的求解 ........................................................... ...... .... .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. VI
2. 3 二维热传导方程 .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..................................VI
2. 3. 1 网格剖分 ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ............VI
2. 3. 2 离散方程组的构建....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...............................................................VII
2. 3. 3 稳定性分析...................................................................................................................................IX
第三章 FEM求解二维热传导方程在 MATLAB 中的实现 .... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... XI
3. 1 MATLAB 相关知识简介 ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... ............XI
3. 1. 1 追赶法简介 .... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... XI
3. 1. 2 相关函数命令简介 ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .XII
3. 2 FEM求解二维热传导方程在 MATLAB 中的实现方法 ......................................................XIII
第四章 数值化和可视化举例分析 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .XV
4. 1 二维热传导方程数值求解的 MATLAB 实现 ..................................................................................XV
4. 1. 1 研究一种较为简单的情况: ... ... .. . .. . .. ... ... ... ... .. . .. . .. ... ... ... ... .. . .. ... ... ... ... .. . .. . .. ... ... ... ... .. . .. . .. ... XV
4. 1. 2 研究一种较为复杂的情况 .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... .. ..... .. ..... .. ..... .. ...XVI
4. 2 误差分析 ............................................................................................................................................XVIII
结论与展望 ........... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... XXI
致谢......................................................................................................................................................................................XXIII
参考文献 ............................................................................................................................................................XXIV
附录 A: 程序清单 ..... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... .............. ... ... ... .............. ... ... .............. ... ... .......XXV
附录 B: 外文翻译资料............................................................................. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......XXV
其中
u
x
2
y
2
,
f ( x, y , t )
为热源函数; 为空间定义域; 为 的边界。
要求求出给定时间情况下温度随空间的分布变化规律。
1. 4 课题解决
目前,对于求解偏微分方程有很多方法,但差分法和有限元离散法式主要解决
问题的两种方法。一般来说,用差分法来解偏微分方程,解得的结果就是方程的准
确解函数在这点上的近似值。而用变分近似的方法求解,是将近似解表示成有限维
子空间中基函数的线性组合。有限元法也是基于变分原理,由于选择了特殊的基函
数,使它能适用于一般的区域。这种基函数是与区域的剖分有关的,近似解
u
表示
为基函数的线性组合,二线性组合中的系数,又是剖分节点上 u 或其导数的近似值。
有关一维热传导方程的有限差分法求解的 MATLAB
实现
[
4]
,现在已经解决,本文
借鉴一维热传导有限差分法的 MATLAB 求解思想,对二维热传导方程进行转换,再
对解法编程实现,从而进一步对热传导方程进行探讨。二维热传导方程求解在现实
生活中的应用也更加广泛,所以有很好的现实意义。
1. 5 论文结构安排
第一章,绪论。主要介绍课题的研究背景和意义,分析了热传导现象在目前工
程领域的主要解决方案和发展现状,最后说明论文的主要内容和组织结构。
第二章,有限元法理论研究。主要介绍与二维热传导问题相关的 FEM理论,为
有限元法在 MATLAB 中的实现奠定基础。
第三章,FEM在 MATLAB 中的实现。主要介绍如何针对特定的一类二维热传导方
程结合初边值条件编制相应的程序代码。
第四章,二维热传导方程的数值化和可视化。主要介绍如何利用编制好的程序
代码带入相应的初边值条件,进行数值化和可视化研究。
1
2
1
n
2
第 二 章 有 限 元 法 及 偏 微 分 方 程 解 法 理 论 分 析
本部分主要对二维热传导方程的有限元解法进行了完整的理论分析。首先从有
限元的基本知识开始引出求解二维热传导方程的基本思想,然后根据本思想使用交
叉方向隐格式求解方法构建矩阵,并论证其稳定性。
2. 1 有限元基本知识介绍
定义
2.
1
[
8]
含有未知函数
u(
x
,
x
, ,
x
,
t)
的偏导数的方程称为偏微分方程。
定义
2.
2
[
8]
方程
1 2
n
u u u
( k ) ( k ) f ( x , t ) ,
t x x x x
1 1 n
n
称热传导方程。其中,u
u ( x, t ) 是固体的传热过程中在 x 处、t 时刻的温度。系数 k
称为热传导系数,当 k
k
k
u
t
(
0) 时,方程为
u
f ( x, t ) ,
2 2 2
其中
, n 为维数。
x
2
x
2
x
2
1 2
n
定义 2.
3
[
8]
在特定条件下求解方程的解。这样的条件成为定解条件。给出了方程和
定结条件,就构成了定解问题。
定义
2.
4
[
8]
一般说,边界条件有下列形式
u
( x, y ) u ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ),
n
u
其中
为边界的外法向导数。有如下几种特殊形式
n
(1)richlet(或第一类)条件: 0 , 即 u 值给定;
即只有初始条件而没有边界条件的定解问题
(2)Neumann(或第二类)条件:
0 .即 u 的外法向导数给定;
即只有边界条件而没有初值条件的定解问题
(3)Robbins(或第三类)条件:
0 , 0 ;
即既有边值条件又有初值条件的定解问题
定义 2. 5
[ 8]
定义在
,
上的函数
v x
的一个关系式,设
2
v
( x ) dx
有关系式
v( x)
1
v( )e
i ( x )
d d ,
i
n
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omyligaga
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