二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现.doc
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2021-09-03
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二维热传导方程有限差分法的 MATLAB 实现
第 1 章 前 言
1.1 问题背景
在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的 MATLAB 实现》和曹刚教授的
《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得 MATLAB 实现问题进行过研
究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。诸如粒子扩散或神经
细胞的动作电位。也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克 -斯科尔斯模型与
Ornstein-uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。
在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法
和手段。虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们
的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。
自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的
数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。
科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重
要领域中成为不可缺少的重要工具。而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学
研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。
解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多
已经成为常规的计算。为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有
了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能
力的发展都是十分重要的。
1.2 问题现状
近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术
的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计
算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。同时，求解热传导
方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界
处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。而且精度上
更好。
目前，在欧美各国 MATLAB 的使用十分普及。在大学的数学、工程和科学系科，
MATLAB 被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB 也成为大学生们必不可少的计
算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。
在我国，MATLAB 在各大专院校的应用日益普遍，许多专业已把 MATLAB 作为
基本计算工具。在科研机构和工业界，MATLAB 正得到越来越广泛的应用。
MATLAB 具有强大的图形绘制功能，为科学计算和图形处理提供了很大的方便。
我们只需制定的绘图方式，再提供绘图数据，有程序指令就可以得到形象、直观的图
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