偏微分方程的MATLAB解法.docx资源-CSDN文库

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引言

偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方

程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术

的各个领域 fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方

程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工

作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox 已实现对于空

间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个

方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出

现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而

且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就

是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转

化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问

题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义

的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物

理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学

上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温

度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流

场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定

温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏

微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程

的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代

数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变

成了数学的中心。

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