Newton迭代法求解非线性方程.pdf

Newton 迭代法是一种求解非线性方程的有效数值方法，它利用了函数的切线来逼近原函数的零点。该方法基于泰勒展开的思想，通过不断迭代寻找方程f(x) = 0的根。在迭代过程中，Newton 法首先在当前近似根xk处对f(x)进行一阶泰勒展开，即： f(x) ≈ f(xk) + f'(xk)(x - xk) 然后，令展开式的值等于零，得到近似方程： f(xk) + f'(xk)(x - xk) = 0 解这个线性方程，我们得到迭代公式： x̅ = xk - f(xk)/f'(xk) 这便是著名的Newton 迭代格式，用xk+1表示新的近似根： xk+1 = xk - f(xk)/f'(xk) 在几何意义上，这个迭代过程相当于用函数在点(xk, f(xk))处的切线的零点来替代曲线的零点，因此Newton 法也被称为切线法。 Newton 迭代法的收敛性质是局部的。对于单根，它是二阶局部收敛；对于重根，它是局部一阶收敛。然而，Newton 法的收敛性依赖于初始猜测值的选取，一般要求初始值x0足够接近实际根x*。如果初始值选择不当，可能会导致不收敛或缓慢收敛。 为了解决收敛性问题，可以引入下山因子λ（0 < λ < 1），修改迭代格式为： xk+1 = xk - λf(xk)/f'(xk) 这样的改进版被称为牛顿下山法，能够改善迭代的稳定性。 当计算导数f'(xk)的工作量较大时，可以采用割线法、拟牛顿法或者Steffenson法等变种。其中： 1. 割线法利用f(xk) - f(xk-1)/(xk - xk-1)代替导数，迭代公式为： xk+1 = xk - (f(xk) - f(xk-1))/(xk - xk-1) 2. 拟牛顿法通过f(xk) [f(xk) - f(xk-1)]/f'(xk) 替代导数，迭代公式为： xk+1 = xk - f(xk) [f(xk) - f(xk-1)]/f'(xk) 3. Steffenson法采用更复杂的公式来提高收敛速度，其迭代格式更为复杂，通常比前两种方法更快地收敛。 在算法分析中，割线法具有超线性收敛特性，而拟牛顿法在单根条件下平方收敛，对于重根，通过适当调整迭代公式，也能达到至少平方收敛的效果。Steffenson法则是进一步增强收敛速度的改进方法，与拟牛顿法类似。 在实际编程实现中，可以编写如下的牛顿法求解程序，输入非线性函数、导数函数、初始值、允许误差和最大迭代次数，程序将返回近似解、误差估计、迭代次数以及函数在解处的值。在给定的代码段中，`newton`函数正是这样一个实现。