用牛顿法求解非线性方程.pdf

非线性方程求根是数值分析中的一个重要问题，牛顿法是一种常用且高效的方法。在本实验中，学生需要掌握非线性方程求根的三种基础算法：二分法、不动点迭代法和牛顿法，以及两种加速技术——Aitken加速和Steffsen加速。 牛顿法的核心在于利用泰勒级数展开，将非线性方程转化为线性方程求解。对于方程f(x)=0，当有一个近似根x_k时，可以展开成f(x)=f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)，令f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)=0，解出新的近似根x_(k+1)=x_k-f(x_k)/f'(x_k)。这个过程不断迭代，直到满足一定的精度要求。 实验要求学生对给定方程f(x)=x^3-3x-5=0寻找实根。方程可以通过不同的形式重写，如a) x=3/(5+x^2)、b) x=3x^2/(5+5x)、c) x=(x^3-3x-5)/(3x)等，然后构造迭代格式。每种格式都需要编程实现，观察其收敛速度和稳定性，并通过事后误差x_(k+1)-x_k<tol(tol=10^-6)来控制迭代次数。 埃特金加速方法利用微分中值定理，假设函数变化不大，通过引入近似值L，改进迭代过程，提高收敛速度。斯特芬森迭代法则结合了不动点迭代和埃特金加速，形成yk=φ(xk)，zk=φ(yk)(yk-xk)^2，x_(k+1)=x_k-zk-2yk+x_k，这种方法通常比单一迭代更快地收敛。 实验中，学生需对比不同迭代格式的收敛性及收敛阶，选择收敛较慢的格式用Aitken和Steffsen方法加速，探究加速效果。如果存在不收敛的格式，尝试使用Steffsen方法使其收敛。 通过实验，学生不仅会编写迭代算法的程序，还会理解如何控制迭代精度，分析不同迭代格式的优劣，以及加速技术的实际应用。这些技能对于理解和解决实际的数值计算问题至关重要。