用Matlab学习线性代数-线性方程组与矩阵代数概要.pdf

在学习线性代数时，矩阵代数和线性方程组是核心概念。Matlab 是一个强大的工具，可以帮助我们理解和解决这些问题。本实验旨在帮助我们熟悉这些概念以及相关的 Matlab 命令。 矩阵的乘法并不满足交换律，即 A * B 不一定等于 B * A。在实验中，我们比较了 C=A*B 和 D=B*A 的结果，以及 C=A'*B' 和 D=B'*A' 的结果，发现它们通常不相等。同时，我们还探讨了矩阵的逆运算，例如 C=inv(A*B)、D=inv(A)*inv(B)、G=inv(B*A) 和 H=inv(B)*inv(A)，其中只有在特定情况下（A 和 B 相互可逆时）C 和 D 或 G 和 H 才可能相等。 在处理大型矩阵时，解线性方程组 Ax=b 的方法有两种：使用矩阵的左除运算符 `\` 或计算逆矩阵再乘以 b。实验表明，使用 `\` 运算符通常比先计算矩阵的逆然后乘以 b 更快。对于精度的比较，我们通过比较解 x 和 y 与真解 z 的最大绝对误差来评估，发现在本案例中两种方法的精度都很高。 实验中还涉及到了奇异矩阵。当一个矩阵的行列式为零时，它就是奇异的。在矩阵 A 被修改后，其行列式变为零，导致 A 变为奇异矩阵。这可以通过将矩阵转换为行最简形（rref）来验证。奇异矩阵无法拥有唯一的逆矩阵，因此 A*x（x 为全 1 向量）的结果表明 A 的列是线性相关的。 进一步，我们观察到即使两个矩阵相加后可能不再是奇异的，但矩阵 A 和 B 的乘积（B 为 A 的转置）仍然是零矩阵，这是因为 A 的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数。当我们计算 AB 和 AC（其中 C=B+C）时，发现它们相等，这再次体现了矩阵乘法的特性。 我们构建了一个非奇异矩阵 B，它是一个单位矩阵减去对角线上方的单位矩阵。这个矩阵的行列式是非零的，因此它是可逆的。通过微小改变 B 的一个元素，我们可以观察到新的矩阵是否仍然可逆。实验结果表明，新矩阵 B 是奇异的，其行最简形揭示了 B 的第 10 列（从 1 到 9 行）与一个特定向量 x 互为相反数，这可以通过计算行最简形来验证。 这个实验通过 Matlab 提供了实践性的经验，加深了对线性方程组、矩阵代数、矩阵乘法、逆矩阵、奇异矩阵和非奇异矩阵的理解。通过实际操作，我们不仅掌握了基本的矩阵运算，还学会了如何在 Matlab 中高效地解决线性代数问题。