专题升级训练 27 解答题专项训练(数列)
1.(2020·云南昆明质检,17)已知等差数列{a
n
}的前 n 项和为 S
n
,a
2
=3,S
10
=100.
(1)求数列{a
n
}的通项公 式;
(2)设 b
n
=
n
a
n
,求数列{b
n
}的前 n 项和 T
n
.
2.(2020·山东济南二模,18)已知等比数列{a
n
}的前 n 项和为 S
n
,且满足 S
n
=3
n
+
k,
(1)求 k 的值及数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足= ,求数列{b
n
}的前 n 项和 T
n
.
3.(2020·河南豫东、豫北十校段测,18)已知数列{a
n
}的前 n 项和为 S
n
,a
1
=1,S
n
=na
n
-n(n-1)(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设 b
n
=,求数列{b
n
}的前 n 项和 T
n
.
4.(2020·河北石家庄二模,17)已知 S
n
是等比数列{a
n
}的前 n项和,S
4
,S
10
,S
7
成
等差数列.
(1)求证 a
3
,a
9
, a
6
成等差数列;
(2)若 a
1
=1,求数列{a}的前 n 项 的积.
5.(2020·陕西西安三质检,19)已知等差数列{a
n
}满足 a
2
=7,a
5
+a
7
=26,{a
n
}的
前 n 项和为 S
n
.
(1)求 a
n
及 S
n
;
(2)令 b
n
=(n∈N
*
),求数列{b
n
}的前 n 项和 T
n
.
6.(2020·广西南宁三测,20)已知数列{a
n
}满足 a
1
=2,na
n
+
1
=(n+1)a
n
+2n(n+
1).
(1)证明:数列为等差数 列,并求数列{a
n
}的通项;
(2)设 c
n
=,求数列{c
n
·3
n
-
1
}的前 n 项和 T
n
.
7.(2020·安徽芜湖一中,理 21)已 知数列{a
n
}的相邻两项 a
n
,a
n
+
1
是关于 x 的方程
x
2
-2
n
x+b
n
=0(n∈N
*
)的两根,且 a
1
=1.
(1)证明:数列是等比数列.
(2)求数列{a
n
}的前 n 项和 S
n
.
(3)是否存在常数 λ,使得 b
n
-λS
n
>0 对于任意的正整数 n 都成立,若存在,求出 λ 的
取值范围;若 不存在,请说明理由.
8.(2020·北京石景山统测,20)若数列{A
n
}满足 A
n
+
1
=A,则称数列{A
n
}为“平方递
推数列” .已知数列{a
n
}中,a
1
=2,点(a
n
,a
n
+
1
)在函数 f(x)=2x
2
+2x 的图象上,其中 n
为正整数.
(1)证明数列{2a
n
+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2a
n
+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T
n
,即 T
n
=(2a
1
+1)(2a
2
+1)…(2a
n
+1),
求数列{a
n
}的通项及 T
n
关于 n 的表达式;
( 3)记 b
n
=log2a
n
+1T
n
,求数列{b
n
}的前 n 项和 S
n
,并求使 S
n
> 2 012 的 n 的最小值.