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2022-05-28
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傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换（F.T.）对每个电子工程师来说应该都不陌生，但我们不应该只是记住一个 的公式，其背后的物理意
义才是掌握和自如运用各种变换的核心。 寒假前老师把我们叫过去给了个入门讲座。他特地强调了下 F.T.
背后物理意义，相比于以前见到的一些版本，似乎更“自然”些。
在信号处理中，我们常常得到的是一些“乱七八糟”的“噪声”。人们当然不能直接对这些混乱的东东进行分
析，所以便想出“类比法”，将这些信号与我们生活中一些常见的“简单信号”来进行比较。接着，我们的问题就来
了……
第一，比较当然需要一定的衡量标准，我们用什么来作为两个信号“类比”的衡量呢？我们想知道的是“复杂
信号”和“简单信号”之间存在多大的“相似”，所以首先想到的就应该是两个信号的“相关性”。计算相关性很简单，
其实就是将两个信号相乘再积分（连续信号），或者相乘再叠加求和（离散）。为什么呢？（假设两个信号均值为
0）如果两个信号很相似，那么，根据“负负得正”等，在各个时间 t 上的乘积应当更多的为“正值”，积分后显然也
为 “ 正 ” 。 越 相 似 的 信号 ， 积 分 后 的 值 就 越 “ 正 ”—— 即 相 关 性 越 大 。（ 关 于 相 关 性 和 内 积 的 关 系 ， 见
http://bbs.sciencenet.cn/showtopic-48514.aspx）
第二，究竟选取什么信号来作为我们衡量的“标准”呢？呵呵，大家都知道是正弦信号了。“为什么我们要用
正弦曲线来代替原来的曲线呢？我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号
的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有
的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但
是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。”
（以上引自 http://blog.chinaunix.net/u2/86638/showart_1866491.html）
第三，激动人心的时刻！对于不同的 ω，我们会得到不同频率的正弦信号，所以对每个频率的正弦信号都
要计算一下它与“复杂信号”的“相关性”，即在 ω 轴的（-∞，+∞）都计算出“复杂信号”与“简单信号”的“相关性”。
由此，我们便得到了时域到 ω 域的变换——傅立叶变换。
其实呢，只要我们选取的“标准信号”满足：
1.
正交性
2.
唯一性
3.
忘了⊙﹏⊙b 汗（貌似是泛函里面的，没学过）
我们就可以用它们来做“变换”，如小波中的方波等等。根据分析目标的不同，选择不同的“简单信号”来与“复杂信
号”做“相关性”比较。
1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意
义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该
原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振
幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变
的正弦波信号转换成一个信号。
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