论文标题：基于有限差分法的光波导电磁本征模式与传播常数计算研究
摘要
本文旨在探讨利用有限差分法（Finite Difference Method, FDM）计算光波导中
的电磁本征模式及其传播常数的数值方法。光波导作为现代光通信系统的核心组
件，其电磁特性的准确计算对于光器件的设计与优化至关重要。通过构建光波导
的离散网格模型，将连续的波动方程转化为代数方程组，进而求解本征值问题，
本文详细阐述了有限差分法在光波导电磁场模拟中的应用流程，并给出了部分源
代码及运行步骤。通过对比理论计算结果与实验数据，验证了该方法的有效性和
准确性。
关键词
有限差分法；光波导；电磁本征模式；传播常数；数值模拟
1. 引言
光波导技术不仅是现代通信系统的基石，也是推动信息技术进步的关键因素之一。
随着光电子集成技术的快速发展，光波导器件的尺寸不断缩小，结构日益复杂，
对光波导的设计和优化提出了更高要求。传统的解析方法在处理简单结构时或许
还能奏效，但对于复杂的光波导结构，如光子晶体波导、微环谐振器等，直接求
解 Maxwell 方程几乎成为不可能的任务。因此，数值方法的研究和应用显得尤为
重要。
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）作为数值方法中的一种，因其原
理简单、易于实现且计算效率较高，在光波导电磁特性的模拟和分析中占据了重
要地位。通过有限差分法，我们可以精确地计算光波导中的电磁本征模式，包括
模式的传播常数、模场分布、能量分布等关键参数，为光波导的设计和优化提供
有力的理论支持。
此外，有限差分法还具有良好的适应性和可扩展性。它可以处理各种复杂的光波
导结构，如弯曲波导、分支波导等；同时，它还可以考虑材料色散、非线性效应
以及边界条件等高级物理现象，使得模拟结果更加接近实际情况。因此，有限差
分法在光波导研究领域具有广泛的应用前景和重要的研究价值。
2. 有限差分法计算光波导电磁本征模式的原理
2.1 电磁场近似
在光波导中，电磁场的变化通常非常迅速，特别是在波长尺度上。因此，为了准
确模拟光波导中的电磁场分布，我们需要采用高精度的数值方法。有限差分法通
过离散化连续的波动方程，将电磁场的变化转化为网格点上的数值变化，从而实
现了对电磁场的近似计算。
在直角坐标系中，波动方程（Helmholtz 方程）的离散化过程需要特别注意。由
于电场强度 E 是矢量，我们需要在每个网格点上分别计算其 x、y、z 三个方向的
分量。同时，波数 k 与光波频率和介质折射率有关，因此在不同介质或不同频率
下，k 的值也会发生变化。这些都需要在离散化过程中进行精确处理。
2.2 边界条件
