数值计算实验10：非线性方程组的解法1.docx

### 数值计算实验10：非线性方程组的解法 #### 实验背景与目标 本实验属于数值计算领域中的一个重要组成部分，主要聚焦于非线性方程组的求解方法。实验旨在帮助学生深入理解并掌握两种基本的数值求解技术：二分法与不动点迭代法。通过具体实例的学习与实践操作，加深对这两种方法的理解，并能够运用Mathematica软件进行编程实现。 #### 实验知识点详解 ##### 1. 二分法求解非线性方程的根 **定义与原理** 二分法是一种基于中间点定理的基本数值计算方法，适用于在一维连续函数上查找根。其基本思想是：如果一个连续函数在区间[a, b]上的端点值异号，则在该区间内部必然存在至少一个根。通过不断将区间二等分并选择新的子区间（其中端点值仍然异号），可以逐步逼近根的位置。 **实验步骤** - **确定根的存在区间**：给定方程\( \ln x + x - 1.5 = 0 \)，先检查端点值\( f(1) = -0.5 \)与\( f(2) = \ln 2 - 0.5 > 0 \)，确认在区间[1, 2]上有且仅有一个根。 - **二分区间**：不断将当前区间二等分，并根据端点值的符号选择下一个子区间，直至达到预定精度。 - **编写程序**：使用Mathematica编写程序实现上述算法。 **Mathematica程序示例** ```mathematica f[x_] := Log[x] + x - 1.5; {a, b} = {1.0, 2.0}; Do[ c = (a + b)/2; Print[a, "", b, "", c, "", f[a], "", f[b], "", f[c]]; If[f[a] f[c] > 0, a = c, b = c], {k, 1, 16} ] ``` **实验结果分析** 通过上述程序运行得到的结果可以看出，随着迭代次数的增加，根的估计值逐渐稳定在一个特定值附近，即为所求的根。 --- ##### 2. 不动点迭代法求解非线性方程的根 **定义与原理** 不动点迭代法是一种用于求解方程\( g(x) = x \)的方法，通过构造适当的函数\( g \)，使得方程\( f(x) = 0 \)的根与\( g(x) = x \)的不动点相对应。该方法的关键在于正确选择\( g(x) \)，确保迭代序列收敛。 **实验步骤** - **重写方程**：将原方程\( x^5 - 3.2x^2 - 4.1 = 0 \)重写为\( x = g(x) = (3.2x^2 + 4.1)^{1/5} \)。 - **验证条件**：确认\( g(x) \)在区间[1, 2.5]上满足不动点迭代法收敛的条件。 - **编写程序**：使用Mathematica编写程序实现不动点迭代法。 **Mathematica程序示例** ```mathematica f[x_] := x^5 - 3.2 x^2 - 4.1; Plot[f[x], {x, -2, 2}] x[n_] := (3.2 x[n - 1]^2 + 4.1)^(1/5); x[0] = 2.; N[Table[x[n], {n, 1, 10}], 10]; MatrixForm[%] N[Solve[f[x] == 0, x], 10][[5]] ``` **实验结果分析** 通过程序运行结果可以看出，迭代序列在若干次迭代后趋于稳定，即得到了方程的近似根。 #### 总结 本次实验通过具体的实例演示了二分法与不动点迭代法在求解非线性方程方面的应用。二分法适用于连续函数，通过不断二分区间来逼近根的位置；而不动点迭代法则通过构造适当的迭代公式来逼近不动点，进而求得方程的根。这两种方法都是数值计算中非常基础且实用的技术，对于理解和解决实际问题具有重要意义。此外，还介绍了Mathematica软件在数值计算中的强大功能，如通过`Solve`和`FindRoot`命令来求解方程，为后续更复杂的问题提供了有效的工具。