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2014数值分析MATLAB上机实验.docx
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数值分析实习报告
姓名:gestepoA
学号:201*******
班级:***班
1
序言
随着计算机技术的迅速发展,数值分析在工程技术领域中的应用越来越广泛,
并且成为数学与计算机之间的桥梁。要解决工程问题,往往需要处理很多数学模
型,不仅要研究各种数学问题的数值解法,同时也要分析所用的数值解法在理论
上的合理性,如解法所产生的误差能否满足精度要求:解法是否稳定、是否收敛
及熟练的速度等。而且还能减少大量的人工计算。
由于工程实际中所遇到的数学模型求解过程迭代次数很多,计算量很大,所
以需要借助如 MATLAB,C++,VB,JAVA 的辅助软件来解决,得到一个满足误差限
的解。本文所计算题目,均采用 MATLAB 进行编程,MATLAB 被称为第四代计算机
语言,利用其丰富的函数资源,使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来
MATLAB 最突出的特点就是简洁,它用更直观的、符合人们思维习惯的代码。
它具有以下优点:
1 友好的工作平台和编程环境。MATLAB 界面精致,人机交互性强,操作简单。
2 简单易用的程序语言。MATLAB 是一个高级的矩阵/阵列语言,包含控制语
言、函数、数据结构,具有输入、输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗
口中将输入语句与执行命令同步,也可以先编好一个较大的复杂的应用程序(M
文件)后再一起运行。
3 强大的科学计算机数据处理能力。包含大量计算算法的集合,拥有600 多
个工程中要用到的数学运算函数。
4 出色的图像处理功能,可以方便地输出二维图像,便于我们绘制函数图像。
2
目 录
1 第一题 ...................................................................4
1.1 实验目的............................................................ 4
1.2 实验原理和方法...................................................... 4
1.3 实验结果............................................................ 5
1.3.1 最佳平方逼近法.................................................. 5
1.3.2 拉格朗日插值法.................................................. 7
1.3.3 对比............................................................ 8
2 第二题 ...................................................................9
2.1 实验目的..............................................................9
2.2 实验原理和方法 ..................................................... 10
2.3 实验结果 ........................................................... 10
2.3.1 第一问...........................................................10
2.3.2 第二问...........................................................11
2.3.3 第三问 ......................................................... 11
3 第三题 ..................................................................12
3.1 实验目的.............................................................12
3.2 实验原理和方法 ..................................................... 12
3.3 实验结果 ........................................................... 12
4 MATLAB 程序..............................................................14
3
1 第一题
某过程涉及两变量 x 和 y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的
近似多项式,已知 xi 与 yi 之间的对应数据如下:
6
10
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y 34.6 40.3 14.6 -14.2 -13.3 24.8 75.2 103.5 97.4 78.2
588 719 448 721 570 234 795 743 847 392
⑴请用次数分别为 3,4,5,6 的多项式拟合并给出最好近似结果 f(x)。
⑵请用插值多项式给出最好近似结果。
1.1 实验目的:
学习逼近和插值的原理和编程方法,由给出的已知点构造多项式,在某个范围内近似代
替已知点所代表的函数,以便于简化对未知函数的各种计算。
1.2 试验原理和方法:
实验原理:
( ) = ∏
( = 0,1,2, ⋯ , ),然后构
拉格朗日插值法中先构造插值基础函数:
j≠k
( ) = ∑
( ∏
) ( )。
造出拉格朗日多项式:
j≠k
( ) =
+
+
+ ⋯+
2
最佳平方逼近中,设逼近函数
,逼近函数和真实函
0
1
2
1
⋯
1
1 ⋯
1
0
1
1
( )
,[ ] = [
2
2
2
] [ ] [ ],即: =
,根据最小二
数之差r =
1
2
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋯
乘准则令∑
n
2
=
,可以得到 = (
)
1
。
实验方法:
逼近法采用最佳平方逼近,依据最小二乘原则:∑
n
2
=
,由已知条件采用离散
型。插值法采用拉格朗日插值法。
在逼近法中,由于是离散型的,所以法方程系数阵设计成求和。分别求出 3、4、5、6
次的多项式,逼近结果和真实值有一定差距,最小二乘正是让这些差距达到最小,理论上多
项式次数越高结果和真实值差距越小。
拉格朗日插值法中“la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j))”语句实现的是我们通常书写的连乘
形式拉格朗日插值多项式,但是表示不方便,而如果用“s=collect(s)”函数将其展开成降
幂排列多项式以后,由于余项问题结果会和原本的多项式有偏差,这种偏差随着 x 的增大而
增大。求出多项式后和题目中给出的参考点进行比较。
最后,选择六次最佳平方逼近多项式和拉格朗日插值多项式(九次)进行比较,选取
4
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