矩阵分解
LU分解
X=LU
[L,U]=lu(A)
上三⾓矩阵U、...
PA=LU
[L,U,P]=lu(A)
lu函数
QR分解
正交矩阵Q
上三⾓阵R
X=QR
[Q,R]=qr(X)
置换矩阵E
XE=QR
[Q,R,E]=qr(X)
qr函数
稀疏矩阵A正定且对称 A=RTR
Cholesky分解
X=RTR
R=chol(X)
X=RTR
X对称正定则p =0
否则p为⼀整数
[R,p]=chol(X)
chol函数
Schur分解
A=P*H*PT
U为正交阵
T为Schur矩阵
[U,T]=schur(A)
schur函数
Hessenberg分解
A=P*H*PT
P为酉矩阵
[P,H]=hess(A)
hess函数
奇异分解
A=U*S*VT
[U,S,V]=svd(A)
svd函数
迭代法
逐次逼近法
Ax=b x(k+1)=Bx(k)+r
其中B=Q‘C，r=Q'b
充要条件：迭代矩阵的谱半径<1
里查森迭代法
调用Matlab函数richason
Jacobi迭代法
调用函数jacobi
Q=D C=D-A
x(k+1)=(I-D^(-1)A)x(k)+D^(-1)b
Gauss-Seidel迭代法
调用函数gauseidel
A=(D-L)-U
x(k+1)=(D-L)^(-1)Ux(k)+(D-L)^(-1)b
超松弛迭代法
超松弛迭代法
调用函数SOR
w为松弛因⼦
x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b
对称逐次超松弛迭代法
两步迭代公式
调用函数SSOR
（D-wL)x(k+1/2)=w(Ux(k)+b)+(1-w)Dx(k)
(D-wU)x(k+1/2)=w(Lx(k)+b)+(1-w)Dx(k+1/2)
两步迭代法
调用函数twostep (D-L)x(k+1/2)=Ux(k)+b (D-U)x(k+1)=Lx(k+1/2)+b
梯度法
最速下降法 fastdown函数 fai(x)=xA(T)x-2b(T)x
共轭梯度法 conjgrad函数
其他方法
特殊解
三对角矩阵的追赶法
快速求解法
非齐次线性方程组解法
超定⽅程组是指⽅程个数⼤于未知量个数的⽅程组
系数矩阵的⾏>列
超定方程解法
伪逆法 x=pinv(A)*b
左除法 x=A
最小二乘法 x=lsqnonneg(A,b)
无穷组解的线性方程组的解法 三个步骤
求Ax=b的一个通解
step1
求Ax=0的通解
step2
将特解和通解合成最终的解
step3
数据插值与拟合
Matlab插值方法
一元插值函数interp1()
分段线性插值linear
样条插值spline
二元插值函数interp2()
拉格朗日插值
l(i)[x]为i次基函数
L(x)=sum(y(i)l(i)[x])
艾特肯插值法
p(0,1,2...k)[x]=1/(x(n)-x(k)) (
p(0,1...k)[x] *(x(n)-x)) - (p(0,1...k-1,n)[x] * (x(k)-x) )
均差的牛顿插值法
k阶均差
f[x0,x1....xk-1,xm]=(f[x0,x1....xk-2,xm]-f[x0,x1....xk-1])/(xm-xk-1)
插值多项式
N(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+....f[x0,x1...xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)
等距节点插值
利用差分的牛顿插值
前向牛顿插值
N(x)=N(x0+th)=f(x0)+[t;1]deltaf(x0)+[t;2](delta^2)f(x0)+.....+[t;n](delta^n)f(x0)
后向牛顿插值
N(x)=N(x0+th)=f(xn)+[t;1)Nablaf(xn)+[t+1;2](Nabla^2)f(xn)+....+[t+n-1;n](Nabla^n)f(xn)
高斯插值
前向高斯插值
节点个数为偶数
G(x)=f(xi)+[t;1]deltaf(x(i+1/2))+[t;2](delta^2)f(xi)+[t+1;3](delta^3)f(x(i+1/2))+...+[t+m-1;2m-1](delta^(2m-1))f(x(i+1/2))+[t+m-1;2m](delta^2m)f(xi)
节点个数为奇数
G(x)=f(xi)+[t;1]deltaf(x(i+1/2))+[t;2](delta^2)f(xi)+[t+1;3](delta^3)f(x(i+1/2))+...+[t+m-1;2m-1](delta^(2m-1))f(x(i+1/2))+[t+m-1;2m](delta^2m)f(xi)+[t+m;2m+1](delta^(
2m+1)f(x(i+1/2))
后向高斯插值
节点为偶数
G(x)=f(xi)+[t;1]deltaf(x(i-1/2))+[t+1;2](delta^2)f(xi)+[t+1;3](delta^3)f(x(i-1/2))+...+[t+m-1;2m-1](delta^(2m-1))f(x(i-1/2))+[t+m;2m](delta^2m)f(xi)
节点为奇数
G(x)=f(xi)+[t;1]deltaf(x(i-1/2))+[t+1;2](delta^2)f(xi)+[t+1;3](delta^3)f(x(i-1/2))+...+[t+m-1;2m-1](delta^(2m-1))f(x(i-1/2))+[t+m;2m](delta^2m)f(xi)+[t+m;2m+1](delta^(
2m+1))f(x(i-1/2))
高斯插值衍生的两个公式
斯特林公式
奇数个节点
S(x)=f(xi)+1/2[t;1](deltaf(x(i+1/2))+deltaf(x(i-1/2)))+1/2([t;2]+[t+1;2])(delta^2)f(xi)+1/2[t+1;3]((delta^3)f(x(i+1/2))+(delta^3)f(x(i-1/2)))+....+1/2([t+m-1;2m-1]+[
t+m;2m-1])(delta^(2m-1))f(x(i+1/2))+[t+m-1;2m](delta^2m)f(xi)
贝塞尔公式
偶数个节点
B(x)=1/2(f(xi)+f(x(i+1)))+1/2([t;1]+[t-1;1])deltaf(x(i+1/2))+1/2[t;2]((delta^2)f(xi)+(delta^2)f(x(i+1)))+1/2([t+1;3]+[t;3])(delta^3)f(x(i+1/2))+....+1/2([t+m;2m+1]+[t+
m-1;2m+1])(delta^(2m+1))f(x(i+1/2))
埃米尔特插值
有理分式插值法
倒差商连分式算法
Neville迭代算法
函数逼近与曲线拟合
切比雪夫逼近
勒让德逼近
帕德逼近
傅里叶逼近
多项式曲线拟合
最小二乘法拟合
矩阵运算
特征值
E=eig(A)
特征多项式法
幂法
瑞利商加速幂法
收缩法
逆幂法
位移逆幂法
QR算法
基本QR
海森伯格QR
位移QR算法
范数
条件数
相似变换
[T,B]=balance(A)
舒尔分解和奇异分解
矩阵指数
求导与微分
Matlab自带diff函数
中点公式
三点公式
五点公式
样条函数
辛普森数值微分法
理查森外推法
积分计算
matlab自带函数
定积分、不定积分 int()
二重积分 dblquad()、quad2dggen()
三重积分 triplequad()
梯形法数值积分
辛普森数值积分
牛顿-科茨法数值积分
高斯系列公式数值积分
高斯公式
高斯-拉道公式
高斯-洛巴托公式
区间逐次分半梯形
公式数值积分
区间逐次分半梯形公式数值积分
区间逐次分半辛普森公式数值积分
区间逐次分半布尔公式数值积分
龙贝格积分法
自适应求积分
样条函数求积分
奇异积分
高斯-拉盖尔公式
高斯-埃米尔特公式
重积分
梯形公式
辛普森公式
非线性方程求解
fsolve
二分法
黄金分割法
不动点迭代法
艾特肯加速
史蒂芬森加速
弦截法
史蒂芬森弦截法
抛物线法
牛顿法
简化牛顿法
牛顿下山法
两步迭代法
重根的迭代方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法
牛顿法
牛顿下山法
拟牛顿法
常微分方程求解
Matlab自带函数
dsolve
ode45
ode23
ode113
欧拉法
简单欧拉法
改进欧拉法
龙格-库塔法
预估-校正法
Adams-Bashforth-Moulton
(ABM)
Hamming
差分方程求解
filter函数
递推法
z反变换求解
偏微分方程求解
A*u_xx+B*u_xy+C*u_yy=f
B^2-4*A*C<0
B^2-4*A*C=0
B^2-4*A*C>0
椭圆偏微分方程
抛物线偏微分方程
双曲线偏微分方程
Helmholtz方程
满足牛顿边值得Helmholtz方程
一维
二维热传导
显式前向欧拉法
隐式后向欧拉法
Grank-Nicholson法
一维波动 显式中心差分法
二维波动
有限元法
matlab自带的PDETOOL
