"定积分计算基本公式（一）.pdf"
本文档主要讲解了定积分计算的基本公式和概念，包括定积分的概念、定积分的基本性质、定积分计算基本公式、积分上限函数及其导数、反常积分等内容。
§7.1 定积分的概念
定积分是数学分析中的一种重要概念，它是微积分的基础。定积分可以用来计算函数在某个区间上的积分值。定积分的概念可以用以下公式表示：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x_i$$
其中，$f(x)$是函数，$a$和$b$是积分的上限和下限，$x_i$是分区点，$\Delta x_i$是分区的宽度。
§7.2 定积分的基本性质
定积分有以下基本性质：
1. 线性：$\int_{a}^{b} [af(x) + bg(x)] dx = a \int_{a}^{b} f(x) dx + b \int_{a}^{b} g(x) dx$
2. 可加性：$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$
3. 非负性：如果$f(x) \geq 0$，那么$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$
§7.3 定积分计算基本公式
定积分计算基本公式有很多种，以下是一些常见的公式：
1.Newton-Leibniz公式：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$
其中，$F(x)$是$f(x)$的原函数。
2.积分上限函数公式：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{x \to b-} \int_{a}^{x} f(t) dt$$
§7.4 定积分基本积分方法
定积分基本积分方法有很多种，以下是一些常见的方法：
1.置换积分法：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(t) dt$$
2.分部积分法：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$$
§7.5 反常积分
反常积分是指积分的上限或下限趋向于无穷大或无穷小。反常积分可以用来计算一些特殊的积分。
§7.6 定积分的应用
定积分有很多应用，例如计算面积、体积、工作、功等等。
§7.3 定积分计算基本公式（一）
本节主要讲解了积分上限函数及其导数的概念和性质。积分上限函数是一种特殊的函数，它可以用来计算定积分。
定理一：
如果$f(x)$在$[a, b]$上连续，则积分上限函数$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$在$[a, b]$上具有导数，且它的导数是$f(x)$。
证明：
由积分中值定理可以得到：
$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt = f(\xi) \Delta x$$
其中，$\xi$是$[a, x]$上的某一点。则有：
$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(x)$$
§7.3 定积分计算基本公式（二）
本节主要讲解了积分上限函数的性质和应用。积分上限函数可以用来计算定积分和不定积分。
定理二：
如果$f(x)$在$[a, b]$上连续，则积分上限函数$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$是$f(x)$在$[a, b]$上的一个原函数。
证明：
由积分上限函数的定义可以得到：
$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$
则有：
$$F'(x) = f(x)$$
§7.3 例题讲解
本节主要讲解了一些例题，例如：
例一：
$$\int_{-1}^{1} e^{x^2} dx$$
解：
$$\int_{-1}^{1} e^{x^2} dx = \int_{-1}^{0} e^{x^2} dx + \int_{0}^{1} e^{x^2} dx = 2 \int_{0}^{1} e^{x^2} dx$$
例二：
$$\int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx$$
解：
$$\int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx = -x^2 e^{x} \Big|_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x e^{x} dx$$
例三：
$$\int_{0}^{1} x^3 e^{x} dx$$
解：
$$\int_{0}^{1} x^3 e^{x} dx = -x^3 e^{x} \Big|_{0}^{1} + 3 \int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx$$
结论：
本节主要讲解了定积分计算基本公式和概念，包括定积分的概念、定积分的基本性质、定积分计算基本公式、积分上限函数及其导数、反常积分等内容。这些内容都是微积分的基础，掌握这些内容是学习微积分的关键。
