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ATLAB数值积分

1 定积分的 MATLAB 符号计算 ................................................................................................... 2

2 变限积分的 MATLAB 符号计算 ............................................................................................... 2

3 矩形公式的 MATLAB 程序 ....................................................................................................... 2

4 梯形公式的 MATLAB 程序........................................................................................................ 3

5 辛普森（SIMPSON）数值积分的 MATLAB 程序.................................................................. 4

6 牛顿-科茨（NEWTON-COTES）数值积分和误差分析的 MATLAB 程序 .......................... 6

7 利用三次样条求表格型数值积分的 MATLAB 方法 ............................................................. 10

8 利用拉格朗日插值等方法求表格型数值积分的 MATLAB 方法.......................................... 10

9 龙贝格（ROMBERG）公式及其 MATLAB 程序 ................................................................ 12

10 自适应积分及其 MATLAB 程序 ........................................................................................... 14

11 高斯（GAUSS）型积分公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 15

11.1 在[-1,1]上的高斯-勒让德积分及其 MATLAB 程序 ....................................................... 15

11.2 在[A,B]上的高斯-勒让德积分公式及 MATLAB 程序..................................................... 17

12 拉道积分公式和洛巴托积分公式及其 MATLAB 程序 ....................................................... 17

13 无穷积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ........................................................................... 23

14 无穷积分的近似计算及其 MATLAB 程序 ........................................................................... 25

14.1 累积求和无穷积分法及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 25

14.2 无穷区间的截断法及其 MATLAB 程序.......................................................................... 26

14.3 高斯-拉盖尔求积公式及其 MATLAB 程序..................................................................... 27

14.3 高斯—埃尔米特求积公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 31

15 无界函数反常积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ........................................................... 33

16 无界函数反常积分的近似计算及其 MATLAB 程序 ........................................................... 35

16.1 无界函数的反常积分的“挖去”法及其 MATLAB 程序 .............................................. 35

16.2 高斯—切比雪夫求积公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 36

17 多重积分的计算及其 MATLAB 程序 ................................................................................... 37

17.1 二重积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 37

17.2 二重积分的梯形公式及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 39

17.3 矩形域上的辛普森公式及其 MATLAB 程序 .................................................................. 40

17.4 一般域上二重积分的数值计算及其 MATLAB 程序 ...................................................... 42

17.5 三重积分的计算及其 MATLAB 程序.............................................................................. 42

>> syms x

F=int(exp(sin(x)),x,0, pi/2), Fs= double (F),

wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2)

运行后屏幕显示定积分的精确值 Fs 和与用矩形公式计算结果的绝对误差 wz

、wz

（二）函数 cumsum 的调用格式

调用格式一：cumsum(X)

调用格式二：cumsum (X,DIM)

例用 MATLAB 的函数 sum 和 cumsum 及矩形公式计算





e x

sin



，并与

精确值比较.

解将

]2/,0[ 

分成 20 等份，步长为 40/



，输入程序如下（注意 sum 和 cumsum

的用法）

>> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x);

z1=sum(y(1:20))*h,z2=sum(y(2:21))*h,

z=cumsum(y); z11=z(20)*h, z12=(z(21)-z(1))*h,

运行后屏幕显示计算结果分别如下

z1 = z2 = z11 = z12 =

0.3873 0.4036 0.3873 0.4036

求定积分的精确值，输入程序

>> syms x

F=int(exp(-x)*sin(x),x,0, pi/2)

Fs= double (F) ,wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2)

运行后屏幕显示定积分的精确值 Fs 和用矩形公式计算结果的绝对误差 wz

、wz

分别如下

F = Fs =

1/2*(-1+exp(pi)^(1/2))/exp(pi)^(1/2) 0.3961

wz1 = wz2 =

0.0088 0.0075

4 梯形公式的 MATLAB 程序

(一) 根据梯形公式和估计误差公式自己编写 MATLAB 程序计算定积分

例分别取 80/,800/,0008/



h ，用梯形公式计算定积分







xsin

，并与精确值比较.然后观察

对计算结果的有效数字和绝对误差的影

响.

解编写并输入如下程序

>>h=pi/8000;a=0;b=pi/2;x=a:h:b;n=length(x),

y=exp(sin(x));

z1=(y(1)+y(n))*h/2; z2=sum(y(2:n-1))*h; z8000=z1+z2,

syms t

f=exp(sin(t)); intf=int(f,t,a,b), Fs=double(intf),

Juewucha8000=abs(z8000-Fs)

运行后屏幕显示取

8000/h 时，积分区间 ]2/,0[



上等距节点的个数 n ，用梯形

公式计算定积分

的值 z8000 和精确值 intf 的近似值 Fs 及其绝对误差 Juewucha8000.

(二) 用函数 trapz 计算定积分

调用格式一：Z =trapz(Y)

调用格式二：Z =trapz(X,Y)

调用格式三：Z = trapz (X,Y,DIM) 或 trapz (Y,DIM)

(三) 用函数 cumtrapz 计算定积分

调用格式一：Z =cumtrapz (Y)

调用格式二：Z =cumtrapz (X,Y)

调用格式三：Z = cumtrapz (X,Y,DIM) 或 cumtrapz (Y,DIM)

例用 MATLAB 的函数

trapz 和 cumtrapz 分别计算



 2/

e x

sin



，精确到



，并与矩形公式比较.

解将

]2/,0[  分成 20 等份，步长为 40/



，输入程序如下（注意 trapz(y)是单位步

长, trapz(y)*h=trapz(x,y)）：

>> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x);

z1=sum(y(1:20))*h, z2=sum(y(2:21))*h, z=(z1+z2)/2

z3=trapz(y)*h, z3h=trapz(x,y), z3

c=cumtrapz(y)*h,

运行后屏幕显示用矩形公式（9.3），（9.4）计算结果 z

、

和二者的平均数 z、函数 trapz

和 cumtrapz 分别计算结果 z

、

(四)梯形数值积分的 MATLAB 主程序

梯形数值积分的 MATLAB 主程序

function T=rctrap(fun,a,b,m)

n=1;h=b-a; T=zeros(1,m+1); x=a;

T(1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b))/2;

for i=1:m

h=h/2; n=2*n; s=0;

for k=1:n/2

x=a+h*(2*k-1); s=s+feval(fun,x);

end

T(i+1)=T(i)/2+h*s;

end

T=T(1:m);

例用 rctrap 计算









，递归 14 次，并将计算结果与精确值比较.

解输入程序

>>T=rctrap(@fun,0,pi/2,14), syms t

fi=int(exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi)),t,0, pi/2);

Fs= double(fi), wT= double(abs(fi-T))

运行后屏幕显示

精确值 F

，用 rctrap 计算

的递归值 T 和 T 与精确值 F

的绝对误差 w

5 辛普森（Simpson）数值积分的 MATLAB 程序

调用格式一：quad(‘fun’,a,b)

调用格式二：quad(‘fun’,a,b,tol)

调用格式三：[Q,FCNT] = quad (...)

调用格式四：quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE)

调用格式五：quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE,P1,P2, …)

复合辛普森（Simpson）数值积分的 MATLAB 主程序

function y=comsimpson(fun,a,b,n)

z1=feval (fun,a)+ feval (fun,b);m=n/2;

h=(b-a)/(2*m); x=a;

z2=0; z3=0; x2=0; x3=0;

for k=2:2:2*m

x2=x+k*h; z2= z2+2*feval (fun,x2);

end

for k=3:2:2*m

x3=x+k*h; z3= z3+4*feval (fun,x3);

end

y=(z1+z2+z3)*h/3;

例用 comsimpson.m 和 quad.m 分别计算定积分







I e



，取精度为



，并与精确值比较.

解输入程序

>> [Q1,FCNT14] = quad(@fun,0,1,1.e-4,3),

Q2 =comsimpson (@fun,0,1,10000)

syms x

fi=int(exp( (-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi)),x,0, 1);

Fs= double (fi)

wQ1= double (abs(fi-Q1) ), wQ2= double (abs(fi-Q2) )

运行后屏幕显示

的精确值 F

，用 comsimpson.m 和 quad.m 分别计算

的近似值 Q

、

和迭代次数 FCNT14，取精度分别为



，Q

、Q

分别与精确值 F

的绝对误差 wQ

, wQ

如下

9 0.0000000000 2.71580000e-001 0.1070275100

11 0.2715800000 4.56840000e-001 0.1597942242

13 0.7284200000 2.71580000e-001 0.0745230082

Q1 = FCNT14 = Q2 =

0.3413 13 0.3413

Fs = wQ1 = wQ2 =

0.3413 3.6619e-009 3.7061e-005

辛普森公式及其误差分析

例用辛普森公式计算









，取 00120



n 个等距节点，并将计算

结果与精确值比较，然后再取

13n 计算，观察 n 对误差的影响.

解由

0012012 



 mn

，得

00010



.根据辛普森（Simpson）公式编写并输

入下面的程序

>> a=0;b=1;m=10000; h=(b-a)/(2*m); x=a:h:b;

y=exp((-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi));

z1=y(1)+y(2*m+1); z2=2*sum(y(2:2:2*m));

z3=4*sum(y(3:2:2*m));

z=(z1+z2+z3)*h/3, syms t,f=exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi));

intf=int(f,t,a,b), Fs=double(intf); Juewucha=abs(z-Fs)

运行后屏幕显示用辛普森公式(9.11)计算定积分

的近似值 z 和精确值 intf 及其绝对误差

Juewucha（取

00120n 个等距节点）.

例估计用辛普森公式计算定积分







I e

xsin

时的误差，取 40/h .

解根据估计误差公式，先输入求

)(

)4(

xf 的程序

>>syms x,y=exp(sin(x)); yx4=diff(y,x,4)

运行后输出被积函数的四阶导函数. 然后在输入误差估计程序

>>h=pi/40; x=0:0.00001:pi/2;

yx4=sin(x).*exp(sin(x))-4*cos(x).^2.*exp(sin(x))+3*sin(x

).^2.*exp(sin(x))-6*sin(x).*cos(x).^2.*exp(sin(x))+cos(x).^4.*e

xp(sin(x));

juyx4= abs(yx4); RS=(h^4)*(pi/2)*max(juyx4)/180

运行后屏幕显示误差估计值

RS =

3.610450295892220e-006

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马虫医生

2023-06-17

这本文件提供的Matlab数值计算方法程序源代码非常实用。
无能为力就要努力

2023-06-17

读起来简单易懂，是一份适合初学者的Matlab数值计算方法指南。
经年哲思

2023-06-17

这本文件提供的代码丰富实用，对于学习Matlab的人非常有帮助。
朱王勇

2023-06-17

理论与实践相结合，让这份Matlab数值计算方法指南更加实用。
刘璐璐璐璐璐

2023-06-17

这份文件的作者非常用心，提供了很多实用的代码和案例，对于开发者来说真是一份福利。

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passionSnail

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