**对数与对数函数**是高中数学中的重要概念，主要涉及对数的定义、性质以及对数函数的性质和应用。在这个高考数学总复习的课时作业中，主要探讨了两个具体问题，涉及到对数函数的定义域、单调性的讨论，以及如何利用对数函数的性质解题。
我们来看第一个问题。问题要求求解函数 \( f(x) = \log_a(ax - 1) \) 的定义域和单调性，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。对于定义域，我们需要确保对数函数的底数 \( a \) 和真数 \( ax - 1 \) 都大于零。当 \( a > 1 \) 时，\( ax - 1 > 0 \) 解得 \( x > 0 \)，因此定义域为 \( (0, +\infty) \)；而当 \( 0 < a < 1 \) 时，\( ax - 1 > 0 \) 解得 \( x < 0 \)，定义域为 \( (-\infty, 0) \)。对于单调性，由于对数函数 \( \log_a x \) 在其定义域内是单调的，因此我们可以通过比较 \( ax - 1 \) 的增减来确定 \( f(x) \) 的单调性。当 \( a > 1 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增；当 \( 0 < a < 1 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上也是单调递增。
接着，第二个问题考察的是函数 \( f(x) = \log_4(ax^2 + 2x + 3) \)。由 \( f(1) = 1 \) 可以求得 \( a \) 的值。代入 \( x = 1 \) 得到 \( \log_4(a + 5) = 1 \)，解得 \( a = -1 \)。这样，函数变为 \( f(x) = \log_4(-x^2 + 2x + 3) \)。为了找到函数的定义域，我们需要解不等式 \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \)，得到 \( -1 < x < 3 \)。接下来，为了判断 \( f(x) \) 的单调性，我们需要考虑其内部二次函数 \( g(x) = -x^2 + 2x + 3 \) 的性质。这个二次函数开口向下，对称轴为 \( x = 1 \)，因此在 \( (-\infty, 1) \) 上单调递增，在 \( (1, +\infty) \) 上单调递减。由于外层是对数函数 \( \log_4 x \)，它在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增，因此 \( f(x) \) 的单调性与 \( g(x) \) 相同，即 \( f(x) \) 在 \( (-1, 1) \) 上单调递增，在 \( (1, 3) \) 上单调递减。
然后，第二个问题的第二部分询问是否存在实数 \( a \) 使得 \( f(x) \) 的最小值为零。因为 \( f(x) \) 是复合函数，其最小值取决于内部函数 \( g(x) \) 的最小值。对于 \( g(x) = -x^2 + 2x + 3 \)，我们可以找到它的最小值点，即顶点坐标 \( (1, g(1)) \)。代入 \( x = 1 \)，得到 \( g(1) = 4 \)。因此，如果 \( g(x) \) 的最小值是正数，那么 \( \log_4(g(x)) \) 就不可能取到最小值为零，因为对数函数在正实数范围内总是非负的。所以，不存在实数 \( a \) 能使 \( f(x) \) 的最小值为零。
总结来说，这个高考数学总复习作业主要涉及了对数函数的定义域计算、单调性分析，以及利用对数函数的性质解决实际问题。对数函数是高中数学的重要知识点，它在解决涉及指数和方程的复杂问题时起着关键作用，同时也为高等数学中的微积分和函数分析打下基础。理解并掌握对数与对数函数的概念和性质，对于提升学生的数学思维和解题能力至关重要。
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