## 灰色系统理论
### 灰色系统应用范畴:
+ 灰色关联度分析;
+ 灰色预测:人口、灾变等;
+ 灰色决策;
+ 灰色预测控制。
### 灰色预测的概念
+ 白色系统指其内部特征完全已知,系统信息完全充分。黑色是系统内部对外界而言是一无所知的。灰色系统内部的一部分信息是已知,系统内各因素间有不确定的关系。
### 灰色预测法
+ 灰色预测法对含有不确定因素的系统进行预测,对一定范围内变化的、与时间相关的灰色过程进行预测。
+ 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度,进行关联分析,对原始数据做生成处理寻找系统变动的规律,生成有较强规律的数据序列,然后建立相应的微分方程模拟,从而预测事物未来发展趋势的状况。
### 灰色预测的四种类型
1. 灰色时间序列预测
用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一量的时间;
2. 畸变预测
通过灰色模型预测异常值出现的时刻。(异常气候、工厂设备异常时间)
3. 系统预测(少用)
通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型,预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测
原始数据做曲线,在其上按定值寻找该定值发生的所有时点,以该定值为框架构成时点数列,而后建立模型预测该定值所发生的时点。
![](1.png)
红色为曲线,蓝色为定值。
***
## 灰色关联度与优势分析
1. 灰色关联度是分析向量间、矩阵间的关联度,需要计算某一个待比较的数列和参照物(参考数列)间的相关程度。
### 基本步骤
![](2.png)
>(1)式子也就是对于每一个比较数列的每一个k都有这一个值即每个i求n个。计算方式简言之为:[(参考数列的每个k减去第i个比较数列的每个k,里面的最小值)+ρ*(前括号相同计算方式下的最大值)]/(该k属性下,参考和比较的差值)+分子第二项;其实只需变分母的第一项,其余对每个i都是固定的。
ρ是分辨系数,取值[0~1],一般取0.5,越大分辨率越大,反之亦然。
对上述每个i比较数列的n个值求平均,便是该比较数列i对参考数列的关联度。
![](3.png)
对于正负关联的求取,需要符号函数sign(),用下面公式求得:
![](4.png)
### 例子
![](5.png)
![](6.png)
![](7.png)
![](8.png)
***
## 灰色生成数列
1. 灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,是一种就数据寻求数据的途径,这也就是灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性,显现他的规律性。数据生成常用方式有:`累加生成`、`累减生成`、`加权邻值生成`。
## 灰色模型GM(1,1)
### GM(1,1)的预测步骤
1. 数据检验
GM(1,1)可行,建立在原始数列的数列级比都落在可覆盖区间内,如下:
![](9.png)
也可对数列加减常树做平移变换使其级比落在可容覆盖内。
2. 建立GM(1,1)模型
![](10.png)
![](11.png)
3. 检验预测值
![](12.png)
### 实例
1. 题
![](13.png)
2. 级比检验
![](14.png)
3. GM(1,1)建模
1)对原始数列做累加生成
![](15.png)
2)构造B矩阵,数据向量Y
![](16.png)
3)计算u
![](17.png)
4)建模
![](18.png)
解得
![](19.png)
5)由上式求解生成数列值及模型的还原值
![](20.png)
6)模型检验
![](21.png)
### 代码样例(数据不同)
![](22.png)
注意求解a,b只需要命令B\Y(也就是B/Y)。
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