车
车
灯
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线
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光
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源
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的
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优
优
化
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设
设
计
计
方
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案
案
车
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灯
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源
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的
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优
优
化
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设
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计
计
方
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案
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一、问题重述
为保证汽车夜间行驶要求汽车的车灯能照亮汽车行驶正前方一定距离内的一
定宽度范围，但为了节省能源，这一宽度范围不必太大（沿宽度方向有一定的衰减率
）。各类车灯的工业设计规范正是据此而制定的。由于车灯的照明主要靠反射光，又
考虑到汽车通常的速度，我们采用的设计规范为，在水平放置的车灯的反射面焦点F点
正前方25米处（A点）放置一个测试屏，与FA垂直，在该测试屏上过A点引出一条与地
面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2Ab=2.6米，要求在测试屏
上B点与C点的反射光强度分别超过2H和H，其中H表示某一额定的光强度。
我们考察的汽车车灯的形状为一个水平放置的旋转抛物面，其开口半径为36
毫米，深度为21.6毫米，焦点里开口平面的距离为6.6毫米。该车灯安装爱汽车的头部
，对称轴指向水平正前方。经过车灯的焦点F，在于对称轴相垂直的水平方向对称地放
置长度为毫米且均匀分布的线光源。即线光源的总功率为W，在测试屏上B与C点的反
射光强度可分别记为h
B
（l）与h
C
（l），设计规范可表示为
现在问题就是求出最优的线光源长度，满足此规范并使功率W最小。
车
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灯
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光
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的
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优
优
化
化
设
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计
计
方
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案
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二、基本假设
1. 不考虑光在空气中传播时的损耗。
2. 点光源发光时，在各个方向上产生的光
强度是一样的。
车
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源
的
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优
优
化
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设
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计
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方
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案
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三、参数说明
P：旋转抛物面的焦参数
2R：线光源长度
W：线光源半轴长发光的总强度
λ：线光源光能线密度，可以表示单位长度光源产生的光强度量
I（B）：B点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（C）：C点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（h）：光仔空间传播时在距离光源h除的光强度
d：旋转抛物面的深度
Q：某点光源的发光强度量
n：每个发光点向空间发射的光线数
Δr：每个离散点光源的长度
Δm：每束光线可以产生的光强度量
E（P）：抛物面上可以讲光线反射到P点的所有点的集合
O：光屏上每个小网格的面积
：测试屏的单位法向量（沿z轴负方向）
车
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源
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的
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优
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化
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设
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计
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方
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案
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四、问题的分析
1. 本问题是个面镜反射的几何光学问题。
2. 要求满足（ ）时对线光源的长度（2R）和单位发光密度
（ λ）进行优化，使线光源发光总强度量最小。
3. 对于其中的考察点，根据它们和相应的发射点之间的位置关系算出从线
光源上某点射出的光线在到达考察点时考察点所接收到的光的强度。
4. 再对该考察点上所接收到的所有光的强度进行积分，计算出相应的光强
度，利用问题给出的约束条件，将问题变成一个带约束条件的优化问题。
