第11节一元二次方程的根与系数的关系.doc

【一元二次方程的根与系数的关系】 一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。根与系数的关系，也称为韦达定理，是解决一元二次方程问题的关键。 1. **韦达定理**：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果有实数根x1和x2，则它们满足以下关系： - x1 + x2 = -b/a - x1 * x2 = c/a 2. **根的判别式**：判别式Δ = b^2 - 4ac决定了方程根的性质： - 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。 - 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根（重根）。 - 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。 在复习过程中，我们可以看到一系列涉及这些概念的问题： 3. 例如，题目中给出的方程x^2 - 2x = 0，其判别式Δ = (-2)^2 - 4*1*0 = 4 > 0，所以它有两个不相等的实数根。 4. 如果一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的一个根为x1，那么根据韦达定理，另一个根x2可以表示为x2 = -c/a - x1。 5. 对于方程3x^2 - 2x - 1 = 0，若x1和x2是其根，则21xx = (x1 + x2) - 2x1*x2 = (-(-2)/3) - 2*(-1/3) = 2。 6. 若x1和x2是方程x^2 - 5x + 6 = 0的根，根据韦达定理，(x1 + 3)*(x2 + 3) = x1*x2 + 3(x1 + x2) + 9 = 6 + 3*(-5) + 9 = 0。 7. 方程x^2 - 3x = 0的两根α和β，其乘积αβ = 0，而(α + 3)(β + 3) = αβ + 3(α + β) + 9 = 0 + 3*(-3) + 9 = 0。 8. 方程2x^2 + 4x - a = 0有两个不相等的实数根，要求判别式Δ = 4^2 - 4*2*(-a) > 0，解得a > -2。 9. 方程x^2 + mx - 6 = 0的一个根为2，代入可得m = (6 - 2^2)/2 = 1，另一个根是6/2 = 3。 10. 方程x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0，由韦达定理，若x1和x2是两根，有x1 + x2 = 2k + 1，当△ABC是等腰三角形时，x1 = x2或x1 = 5，x2 = 5，分别求解k。 通过以上问题，我们可以看出一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系在解题中的重要性。这些知识点不仅帮助我们确定方程的根的类型，还能直接计算出根的具体值或关系。理解并熟练应用韦达定理和判别式，将使我们能够更有效地解决一元二次方程的相关问题。