这些题目涉及的是高中数学中的一元二次方程及其与几何图形的结合问题。一元二次方程根与系数的关系是中学数学的重要知识点，通常可以用韦达定理来解决相关问题。韦达定理指出，对于一元二次方程 `ax^2 + bx + c = 0`，其两根分别为 `x_1` 和 `x_2`，则有：
1. `x_1 + x_2 = -b/a`
2. `x_1 * x_2 = c/a`
下面逐题分析：
1. 题目要求代数式 `28x^2 + mx + m` 是完全平方式，意味着它可以表示为 `(dx + e)^2` 的形式。根据展开后的项对应，可以得出 `d = sqrt(m)`，`e = d/2`，从而解出 `m`。
2. 在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半。因此，若 `a` 和 `b` 是方程的根，它们之和等于 `9`，乘积等于 `25`，可以求得斜边长度，进而找到中线的长度。
3. 方程 `2x^2 - 4x + 8 = 0` 的判别式 `b^2 - 4ac` 决定了根的情况。证明此方程有两个不相等的实数根，可以通过计算判别式并验证它大于零来完成。
4. 若方程 `x^2 - (a + b)x + ab = 0` 有两个相等的实数根，根据韦达定理，`a + b` 为两根和，`ab` 为两根积，可以推断 `a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab`，证明三角形为直角三角形。
5. 类似于第4题，若方程 `x^2 - (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0` 有两个相等的实数根，且 `a = b = c`，证明三角形为正三角形。
6. 通过韦达定理找出 `a`, `b`, `c` 的关系，结合条件 `5:3 = ac` 解决三角形形状及边长问题。
7. 利用梯形性质和相似三角形求解角度和边长。
8. 方程 `x^2 - (a + b)x + ab = 0` 有两个相等的实数根，利用韦达定理求解 `ab` 的值。
9. 利用等差数列的性质求解 `a`, `b` 的值。
10. 求解 `m` 的范围，使得方程有两个不相等的实数根，并在范围内找出最小偶数值，计算方程的两根之和与两根之积。
11. 证明方程有两个不相等的实数根，然后根据给出的根的关系求解 `m`。
12. 利用立方和公式和已知条件求解 `xyz` 的值。
13. 根据韦达定理和根的性质，解出 `m` 的值。
14. 使用韦达定理求解 `ab` 的关系，然后计算表达式的值。
15. 证明第二个方程的判别式大于零，即两个实数根不相等。
16. 设计一个方程，使得其两根平方和等于 56，并求解 `m` 的值。
17. 求解负数 `k` 使得方程的两实数根倒数和等于 4。
18. 通过韦达定理确定两个方程根的关系，解出 `a` 的整数值。
19. 分别求解满足条件的 `m` 值。
20. 设定方程的两根之比，解出 `m` 的值。
21. 证明方程有两个不相等的实数根，然后根据根的关系求解 `m` 和 `x_1`, `x_2`。
22. 同样，证明方程有两个正根，然后根据根的关系求解 `m`。
23. 利用韦达定理和根的差为 2 来求解 `x_1`, `x_2` 和 `k`。
24. 证明方程有两个不相等的实数根，然后利用韦达定理和给定的根的性质求解 `q`。
25. 讨论方程的根的平方和与根的乘积，找到 `k` 的值。
以上这些问题都涉及到一元二次方程的根与系数的关系，通过韦达定理、判别式以及根的性质，可以系统地解答。每个问题的具体解法需要根据题目具体信息进行详细的计算和推理。
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