非线性最小二乘问题（Nonlinear Least Squares, NLS）是数据分析和科学计算中的一个常见问题，特别是在参数估计和曲线拟合等场景中。它涉及到寻找一组参数，使得某个非线性函数的平方误差和达到最小。在这种情况下，Levenberg-Marquardt（LM）算法是一种常用的优化方法，它结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的优点，适用于解决大型非线性问题。
LM算法起源于1944年，由Levenberg首次提出，后来Marquardt对其进行了改进，使其在处理病态问题时更为稳健。该算法在迭代过程中，通过调整参数来控制步长，既能避免高斯-牛顿法在病态问题中的发散，又能保持接近梯度下降法的稳定收敛性。
在MATLAB中，实现非线性最小二乘问题通常使用`lsqnonlin`函数，这是一个内置的优化工具箱函数，它可以解决包括LM算法在内的多种非线性最小二乘问题。`lsqnonlin`函数需要用户提供目标函数（即误差函数）和初始参数值，然后自动进行迭代优化。
误差函数是衡量模型与观测数据之间不匹配程度的函数，通常定义为实际观测值与模型预测值之差的平方和。在非线性最小二乘问题中，我们需要找到一组参数，使误差函数最小化。例如，在拟合曲线或曲面的问题中，这些参数可能包括曲线的截距、斜率或其他复杂的系数。
LM算法的工作流程如下：
1. 初始化参数。
2. 计算目标函数的梯度和雅可比矩阵。
3. 如果问题病态，增加步长，否则减小步长。
4. 使用改进的雅可比矩阵更新参数。
5. 检查收敛条件，如残差的改变量小于预定阈值，或者达到最大迭代次数。
6. 若未达到收敛条件，返回步骤2。
在提供的MATLAB源码中，可能会包含以下部分：
- 目标函数（error function）：定义了实际观测值与模型预测值之间的差异。
- 雅可比矩阵（Jacobian matrix）的计算：这是描述参数变化如何影响误差的矩阵。
- LM算法的实现：包括步长控制和参数更新的逻辑。
- 初始参数设置和迭代控制：设定迭代次数上限，初始参数值等。
- 结果输出：输出最优参数和最小化后的误差。
理解和掌握非线性最小二乘问题及LM算法对于科学计算和工程应用至关重要，因为它广泛应用于各种领域，如信号处理、图像处理、机器学习和物理模拟等。通过MATLAB这样的高级编程环境，我们可以高效地实现和优化这类问题，从而提高模型的准确性和预测性能。
