第
２５
卷第
４
期
２００８
年
７
月
中 国 科 学 院 研 究 生 院 学 报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＧｒａｄｕａｔｅＳｃｈｏｏｌｏｆｔｈｅＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ
Ｖｏｌ．２５
Ｊｕｌｙ
Ｎｏ．４
２００８
国家自然科学基金（
６０５７３０５３
）和
８６３
计划（
２００６ＡＡ０１Ｚ４１６
）资助课题
Ｅｍａｉｌ
：
ｌｉｗｅｉｂｏ１８０＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ
文章编号：
１００２１１７５
（
２００８
）
０４０５２４０６
分组密码
Ｓ
盒的代数方程
李伟博
解永宏 胡 磊
（中国科学院研究生院信息安全国家重点实验室，北京
１０００４９
）
（
２００７
年
７
月
９
日收稿；
２００７
年
１０
月
２５
日收修改稿）
ＬｉＷＢ
，
ＸｉｅＹＨ
，
ＨｕＬ．ＡｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆＳｂｏｘｂｌｏｃｋｃｉｐｈｅｒ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＧｒａｄｕａｔｅＳｃｈｏｏｌｏｆｔｈｅＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆ
Ｓｃｉｅｎｃｅｓ
，
２００８
，
２５
（
４
）：
５２４～５２９
摘 要 研究了几种著名的分组密码体制的
Ｓ
盒所满足的代数方程的个数，如
ＤＥＳ
、
ＡＥＳ
、
ＭＡＲＳ
、
ＳＥＲＰＥＮＴ
等，分别计算出这几种分组密码的
Ｓ
盒从低次到高次的代数方程的个数，并把
计算结果和理论极小值进行了比较
．
此外，还针对一类对密码分析具有特别意义的不完全代数
方程研究了
Ｓ
盒所满足的这类不完全代数方程的个数，通过这类方程的个数，可以看到它们的
Ｓ
盒与随机
Ｓ
盒的差别
．
关键词 分组密码，
Ｓ
盒，代数方程
中图分类号
ＴＮ９１８
１
引言
最近，在密码分析中，代数攻击得到了很多学者的关注
．
这种攻击将一个密码体制的破译规约为一
个超定（
ｏｖｅｒｄｅｆｉｎｅｄ
，即方程个数大于未知量个数）的多变量方程组的求解问题
．
例如，文献［
１
］中，作者利
用这种方法分析了
ＡＥＳ
密码体制，在给定一个明密文对之后，恢复密钥的问题被规约为一个求解含有
１６００
个变量的二次方程组的问题
．
一般情况下，解一个一般的多变量多项式方程组是一个
ＮＰ
难的问
题
．
但是在对某些分组密码、流密码和公钥密码体制的分析中，有时可以得到一些具有特殊性质的多变
量多项式方程组，利用这些性质就能有效地求解
［
２～７
］
．
文献［
８
］中，作者描述了
ＤＥＳ
的
Ｓ
盒的一组低次代
数方程，从这些方程出发，利用著名的逻辑公式可满足性判定软件
ＭｉｎＳａｔ２０
，他们在仅已知一对明密文
的前提下，恢复
６
轮缩短版本的
ＤＥＳ
的密钥
．
因此，对于采用
Ｓ
盒的分组密码体制，能够描述
Ｓ
盒的低次
代数方程对于体制的安全性就显得十分重要
．
本文对
ＤＥＳ
，
ＡＥＳ
、
ＭＡＲＳ
和
ＳＥＲＰＥＮＴ
等密码体制的
Ｓ
盒做
了分析，计算了它们的
Ｓ
盒所满足的低次代数方程的个数
．
本文第
２
节介绍了
Ｓ
盒代数方程的定义和计算方法，第
３
节列出了分组密码体制的
Ｓ
盒所满足的
低次代数方程的个数，第
４
节研究了
Ｓ
盒的不完全代数方程
．
２ Ｓ
盒的代数方程
２１ Ｓ
盒的代数方程
定义
１
一个输入为
ｎ
比特、输出为
ｍ
比特的
Ｓ
盒简记为（
ｎ
，
ｍ
）
Ｓ
盒
．
设
ｇ
（
ｘ
０
，…，
ｘ
ｎ－１
，
ｙ
０
，…，
ｙ
ｍ－１
）
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