高斯householder线性代数方程组解

高斯 Householder 线性代数方程组解 高斯 Householder 线性代数方程组解是指通过编程实现 guass 和 Householder 求解线性方程组，并比较分析结果的方法。该方法可以将线性方程组化为上三角方程组，从而方便地求出方程组的解。 高斯消元法是将线性方程组化为上三角方程组的方法。其基本思想是通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。高斯算法描述如下： 1. 设有 n 元线性方程组如下： 1111nnnnaaaa 1nxx＝ 1nbb 2. 第一步：如果 a11!=0, 令 li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n 用（-li1）乘第一个方程加到第 i 个方程上，得同解方程组： a(1)11 a(1)12 . . . a(1)1n x1 b(1)1 a(1)21 a(1)22 . . . a(1)2n x2 b(1)2 . . . . . . . = . a(1)n-11 a(1)n-12 . . a(1)n-1n xn-1 b(1)n-1 a(1)n1 a(1)n2 . . . a(1)nn xn b(1)n 简记为： A(2) x = b(2) 其中 a(2)ij = a(1)ij – li1 * a(1)1j , I ,j = 2,3,..,n b(2)I = b(1)I – li1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n 第二步：如果 a(2)22 != 0,令 li2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n 依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！ 得到上三角方程组： a(1)11 a(1)12 . . . a(1)1n x1 b(1)1 0 a(1)22 . . . a(1)2n x2 b(1)2 . . . . . . . = . 0 0 . . . a(n-1)n-1n xn-1 b(n-1)n-1 0 0 . . . a(n)nn xn b(n)n 简记为： A(n) x = b(n) Householder 变换 QR 分解对于任何长方矩阵 A，都可以进行 QR 分解，其中 Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\(Q\b) 也就是说，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。 高斯 Householder 线性代数方程组解是将线性方程组化为上三角方程组的方法，从而方便地求出方程组的解。