高斯法是线性代数中一种经典的数值计算方法，用于求解线性方程组。这种方法基于矩阵的行操作，通过逐步将系数矩阵转换为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵，进而求得未知数的解。在本例中，我们将讨论如何使用高斯消去法，包括不选主元和选主元两种策略，以及如何用Matlab实现这一过程。
让我们了解一下高斯消去法的基本步骤：
1. **初始化**：给定一个线性方程组`Ax = b`，其中`A`是系数矩阵，`x`是未知数向量，`b`是常数向量。将`A`和`b`组合成增广矩阵`A_b = [A | b]`。
2. **行消元**：从上到下，对每行进行操作。对于第`k`行，将第`k+1`到`m`行的每一列元素减去第`k`行对应元素与第`k`行第`k`个元素的比例乘积。这个比例是`c = A_b(i,k)/A_b(k,k)`，目的是使第`k+1`行到`m`行的第`k`列元素变为零。
3. **回代求解**：完成消元后，最后一个非零行的最后一个元素`x(m)`可以直接得到，即`x(m) = A_b(m,n)/A_b(m,m)`。然后，从最后一行向上，利用已知的解逐行计算剩余未知数。对于第`k`行的`x(k)`，利用回代公式`x(k) = (A_b(k,n) - A_b(k,k+1:m)*x(k+1:m)')/A_b(k,k)`计算。
在Matlab中，我们可以编写如下的`fguass`函数来实现这个过程：
```matlab
function x = fguass(A, b)
tic
A_b = [A, b];
[m, n] = size(A_b);
% 不选主元的高斯消去
for k = 1:1:m-1
for i = k+1:1:m
c = A_b(i,k)/A_b(k,k);
A_b(i,:) = A_b(i,:) - c*A_b(k,:);
end
end
disp('不选主元的高斯消去后的增广矩阵 A_b = ')
disp(A_b)
% 回代求解
x(m) = A_b(m,n)/A_b(m,m);
for k = m-1:-1:1
x(k) = (A_b(k,n) - A_b(k,k+1:m)*x(k+1:m)')/A_b(k,k);
end
toc
end
```
在这个函数中，我们首先获取增广矩阵`A_b`的尺寸，然后进行两层循环实现高斯消去。外层循环遍历每一列，内层循环执行行消元。在消元完成后，我们打印出消元后的增广矩阵，然后通过回代计算解`x`。函数返回解`x`并记录整个过程的运行时间。
需要注意的是，不选主元的高斯消去法可能由于小的或者接近零的主元导致数值不稳定。因此，在实际应用中，通常会采用选主元的策略，选择绝对值最大的元素作为主元，以减少数值误差。不过，这里仅展示了不选主元的版本。
在给定的方程组中，我们可以通过运行上述Matlab代码来求解。代码会输出消元后的增广矩阵和解`x`，从而验证算法的正确性。在数值计算中，高斯法及其变种，如高斯-约旦消去法、部分 pivoting、完整 pivoting 或者高斯-塞德尔迭代等，都是解决线性代数问题的重要工具。
