高斯—赛德尔迭代法(Gauss-Seidel Iteration)是一种在数值分析中用于求解线性方程组的迭代方法。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的基础迭代法发展而来的,后来由奥斯卡·赛德尔改进。这种方法尤其适用于大型稀疏矩阵的问题,因为它在计算过程中只涉及到矩阵的对角线元素和相邻行的元素,大大减少了计算量。
在解决线性方程组Ax=b时,其中A是一个n×n的矩阵,x和b分别是n维向量,高斯—赛德尔迭代法通过以下步骤进行:
1. **初始化**: 选择一个初始近似解x^(0),通常是所有元素为零的向量,或者使用其他合理估计值。
2. **迭代公式**: 对于k=0,1,2,...,执行以下迭代步骤:
对于每个i=1,2,...,n(按顺序处理每一行):
\[ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right) \]
这里的关键是,对于第i个元素的更新,我们使用了最新计算的x_j^(k+1)(j<i),以及上一轮迭代得到的x_j^(k)(j>i)。
3. **收敛检验**: 在每次迭代后,检查解的改变是否小于某个预定的阈值ε,即:
\[ ||x^{(k+1)} - x^{(k)}|| < ε \]
如果满足条件,则认为迭代收敛,停止迭代,否则继续下一轮迭代。
4. **最大迭代次数**: 设置一个最大迭代次数M,如果达到这个次数还没有收敛,则可能需要调整初始近似、迭代阈值或考虑其他求解方法。
高斯—赛德尔迭代法的优点在于其局部线性收敛性质,对于某些系数矩阵A,它可能比普通的高斯迭代法更快地收敛。然而,这种方法对初始近似的选择很敏感,不合适的初始值可能会导致慢速收敛甚至不收敛。此外,当矩阵A是病态的(条件数大)时,可能会导致数值稳定性问题。
在给定的压缩包文件中,"高斯—赛德尔迭代法求解方程组"很可能包含了一个C语言编写的程序,该程序实现了上述迭代算法来求解线性方程组。通常,这样的代码会包括读取矩阵和向量、设置初始值、执行迭代过程、判断收敛条件等功能。学习和理解这段代码可以帮助深入理解高斯—赛德尔迭代法的工作原理,并能应用于实际问题中。