微分几何作为数学的一个分支，主要研究的是曲线、曲面以及更高维流形的性质。它通过对曲线和曲面的局部性质进行微分，进而探索整体的几何性质。微分几何讲义通常会系统地介绍流形、微分形式、曲率等基本概念，并且通过各种定理和公式来描述这些几何对象的性质。
在微分几何中，流形的概念是对欧氏空间概念的推广。在流形的局部，任何一点都存在一个和欧氏空间中开集同胚的邻域，这个邻域可以被赋予局部坐标系，从而可以对流形的局部进行分析。例如，在微分流形中，欧氏空间Rm中的点可以表示为有序数组(x1,x2,...,xm)，其中每个xi是实数，这些点形成的集合在加入了标准的距离函数后，就形成了欧氏空间。这个空间除了有线性的构造外，还具有典型的拓扑结构，如开球集合是开集等。
微分几何的研究不仅包括流形本身的结构，还包括了流形上的各种映射和变换。例如，微分形式的外微分和外微分形式的积分是微分几何中非常重要的概念，通过它们可以研究流形的拓扑性质。Stokes公式就是联系微分形式和其外微分形式积分的重要工具，它表达了在流形上微分形式的积分与边界上的积分之间的关系。
仿射连络和连络矢量是在研究流形的弯曲性质时常用的概念，它们是研究流形上曲线、曲面或其他几何对象时的基础。仿射连络可以理解为描述流形上曲线如何弯曲的工具，而连络矢量则涉及到如何将这种弯曲的性质局部化。例如，Frobenius定理提供了一种判断给定的分布是否完全可积的准则。
微分几何讲义中还会包括一些特殊的流形，如复流形。复流形是实流形概念的推广，它在每一点的局部可以用复数作为坐标。在复流形上，可以研究复结构和Hermite流形等特殊结构，它们在数学和理论物理中有重要的应用。
此外，微分几何中还有若干重要的定理，如Gauss-Bonnet公式、Cohn-Vossen和Minkowski的唯一性定理以及Bernstein定理等。这些定理通常涉及流形的曲率和拓扑性质，如Gauss-Bonnet公式将流形的几何性质和拓扑性质联系起来，它说明了曲面的高斯曲率和该曲面的拓扑类型之间存在深刻的关系。
在更高级的内容中，微分几何与理论物理学的联系变得紧密，比如在描述广义相对论和宇宙学中的时空结构时，就需要使用微分几何的语言和工具。李群和活动标架法在研究微分几何中的对称性和运动规律中有着重要应用。
总体上，微分几何讲义不仅介绍了一系列基本概念和工具，而且通过这些概念和工具来深入探索各种几何对象的内在联系和性质。通过阅读这样的讲义，可以建立起对空间形态和结构的深刻理解，对于希望在数学、理论物理等领域进行深入研究的学者而言，微分几何是一个不可回避的基础学科。
