【最优控制】是控制理论中的一个重要分支，主要研究如何设计控制器使得系统性能达到最优。课件的第一章重点讲解了变分法和泛函的概念及其在最优控制中的应用。
**1.1 泛函**
泛函是数学中的一个概念，它不是一个简单的函数，而是将函数或者函数集合映射为标量的映射。例如，曲线的弧长就是一个泛函，它接受函数y=f(x)作为输入，输出的是弧长这个标量值。在最优控制中，目标函数通常是一个泛函，它涉及到系统状态随时间变化的轨迹以及控制输入的影响。
目标函数常常表示为：
\[ J = \int_{t_0}^{t_f} \phi(x(t), u(t), t) dt \]
这里，\( t \) 是时间，\( t_0 \) 和 \( t_f \) 分别是初始和最终时间，\( x(t) \) 是状态向量，\( u(t) \) 是控制向量，\( \phi \) 是标量函数，代表在特定时间点的性能指标。
**1.2 变分的推演**
变分法是求解泛函极值问题的工具。在最优控制中，我们希望找到一条控制曲线，使得目标泛函达到最小或最大。通过变分，我们可以得到Euler-Lagrange方程，它描述了使得泛函达到极值的必要条件。
对于泛函 \( J \)，如果存在一条曲线 \( y=y(x) \) 使得 \( J[y] \) 达到极小，那么对于任意微小的扰动 \( \eta(x) \)，有：
\[ \delta J[y+\eta] = 0 \]
经过推导，可以得到Euler-Lagrange方程，它是控制理论中的核心方程，用于确定最优控制策略。
**1.3 Euler 方程**
Euler方程是变分法中的关键结果，它给出了泛函极值的微分方程形式。在最优控制问题中，Euler方程提供了关于状态变量和控制变量的微分方程，这些方程的解构成了最优控制路径。
**1.4 向量情形**
在实际工程问题中，状态向量往往是多维的，这就引入了向量形式的Euler方程。在这种情况下，需要解决一组常微分方程来确定最优控制策略。
**1.5 有约束的情形**
在很多实际问题中，控制输入和状态变量往往受到物理或工程约束，例如动力学限制、能量消耗限制等。这些约束条件需要在优化过程中同时考虑，以确保找到的解是可行的。
**1.6 端点可变情形**
端点可变情形是指初始和最终状态可能不是固定的，它们也可能作为优化的一部分进行调整，以达到更好的整体性能。
**1.7 变分的另一种定义**
除了基本的变分定义外，还有其他形式的变分定义，如高阶变分，它们在处理包含高阶导数的目标函数时特别有用。
总结来说，最优控制通过变分法和泛函分析来寻找控制系统的最佳操作策略，以最大化或最小化某些性能指标。这一领域的理论和方法对自动化、航空航天、能源系统等多个领域都具有深远的影响。
