2009年全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点

在2009年举办的全国大学生数学建模竞赛中，A题特别关注了汽车制动系统的模拟问题。该题目设计的核心思想在于，通过对实际物理过程的模拟，考察参赛学生对数学、物理知识以及控制理论的综合运用能力。评阅要点提示我们，在解决类似问题的过程中，学生需要深入理解和运用能量守恒原理、精确计算转动惯量、构建精确的数学模型、进行有效的离散化处理、设计合理的控制策略、以及对模型进行误差分析与优化。 能量守恒原理是物理学中的基本定律，它表明在封闭系统中，如果没有外力做功，那么系统的总能量将保持不变。在模拟汽车制动系统时，学生需要将制动过程中的能量转换纳入考量，尤其是从动能到热能的转换。因此，应用能量守恒原理来建立等效转动惯量J与线速度v及角速度ω之间的关系是至关重要的一步。此关系通常以公式v = Rω表述，其中R代表制动盘的半径。 接下来，转动惯量的计算是理解物体旋转运动的基础。在制动系统中，不同飞轮的转动惯量计算需要借助外半径R1、内半径R0、厚度h以及密度ρ等参数。转动惯量的准确计算对于模拟制动过程和预测制动效果至关重要。 构建数学模型是数学建模竞赛中的核心环节。在A题中，学生需要模拟的是制动过程中主轴转速、机械惯量、制动扭矩和电流产生的扭矩之间的关系。为了准确描述这些关系，往往需要建立一系列微分方程，它们共同构成了控制系统的基础。因此，学生必须能够将实际物理过程抽象成数学表达，并理解这些数学模型在实际问题中的应用。 离散化处理是计算机模拟中不可或缺的步骤，它将连续时间问题转化为离散时间问题。在制动系统模拟中，通过将制动过程分割为N个时间段，并用时间步长Δt来表示每个时段，可以迭代求解每个时段内的能量变化，进而计算出相对误差。这种处理方式对于保证计算机模拟的准确性和稳定性具有重要作用。 在控制策略设计方面，一阶递推控制方法虽然简单，但在处理复杂的制动过程时可能效果不佳。因此，学生们需要设计更为复杂的控制策略，比如采用前k步的累积误差信息来进行调整，以减小总体能量误差。这要求学生不仅要有扎实的理论知识，还要具备创新思维和解决问题的能力。 误差分析与优化是评价模型性能的关键。学生需要分析和指出一阶递推控制方法中的不足，并提出改进方案，如调整电流值以补偿能量误差。这部分内容不仅要求学生能够发现并修正模型的缺陷，还要求他们能对模型进行优化，以达到更好的性能。 2009年全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点所涉及的内容，无疑是在数学、物理和控制理论的交叉领域中，对学生综合应用能力的一次全面检验。评阅专家在关注模型的合理性、计算的准确性以及控制策略的有效性的同时，也应该注意到模型的创新性、实用性和对实际问题的适用性。通过这样的比赛，不仅提升了学生的数学应用能力，也为他们未来在科学和工程领域的深造和实践打下了坚实的基础。