The CVX Users’ Guide
Release 2.1
Michael C. Grant, Stephen P. Boyd
CVX Research, Inc.
December 26, 2017
CONTENTS
1 Introduction 1
1.1 What is CVX? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 What is disciplined convex programming? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 What CVX is not . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Licensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Installation 5
2.1 Supported platforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Installing a CVX Professional license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Solvers included with CVX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 A quick start 9
3.1 Least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Bound-constrained least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Other norms and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Other constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 An optimal trade-off curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 The Basics 19
4.1 cvx_begin and cvx_end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Objective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Set membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.7 Dual variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.8 Assignment and expression holders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 The DCP ruleset 29
5.1 Top-level rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Expression rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Function expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Scalar quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Strict inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6 Log convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i
6 Semidefinite programming mode 39
7 Geometric programming mode 41
7.1 Top-level rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Solvers 45
8.1 Supported solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2 Selecting a solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.3 Controlling screen output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.4 Interpreting the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.5 Controlling precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.6 Advanced solver settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Reference guide 53
9.1 Arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Built-in functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3 New functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.4 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.5 Commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10 Support 63
10.1 The CVX Forum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Bug reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.3 What is a bug? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.4 Handling numerical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.5 CVX Professional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
11 Advanced topics 67
11.1 Eliminating quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11.2 Indexed dual variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.3 The successive approximation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11.4 Power functions and p-norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.5 Overdetermined problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.6 Log convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.7 Adding new functions to the atom library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
12 License 79
12.1 CVX Professional License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2 CVX Standard License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.3 The Free Solver Clause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.4 Bundled solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.5 Example library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.6 No Warranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13 Citing CVX 83
14 Credits and Acknowledgements 85
ii
15 Using Gurobi with CVX 87
15.1 About Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15.2 Using the bundled version of Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15.3 Using CVX with a standalone Gurobi installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
15.4 Selecting Gurobi as your default solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
15.5 Obtaining support for CVX and Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
16 Using MOSEK with CVX 91
16.1 About MOSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16.2 Using the bundled version of MOSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16.3 Using CVX with separate MOSEK installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16.4 Selecting MOSEK as your default solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.5 Obtaining support for CVX and MOSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Bibliography 93
Index 95
iii
