### 数字通信习题解析
#### 第二章习题解答概览
本章节习题主要围绕数字通信系统中的概率论基础展开，通过一系列具体的计算题目，帮助读者加深对数字通信中基本概率概念的理解。
### Problem2.1: 概率求解
题目描述：给定事件\(A_i\)和\(B_j\)的概率关系式，即\(P(A_i) = \sum_{j=1}^{3} P(A_i, B_j)\)，求解\(P(A_i)\)和\(P(B_j)\)。
**解析**：
根据题目给出的关系式，我们可以求解每个\(A_i\)和\(B_j\)的概率值。计算各个\(A_i\)的概率：
\[
P(A_1) = \sum_{j=1}^{3} P(A_1, B_j) = P(A_1, B_1) + P(A_1, B_2) + P(A_1, B_3) = 0.1 + 0.08 + 0.13 = 0.31
\]
同理可得：
\[
P(A_2) = P(A_2, B_1) + P(A_2, B_2) + P(A_2, B_3) = 0.05 + 0.03 + 0.09 = 0.17
\]
\[
P(A_3) = P(A_3, B_1) + P(A_3, B_2) + P(A_3, B_3) = 0.05 + 0.12 + 0.14 = 0.31
\]
\[
P(A_4) = P(A_4, B_1) + P(A_4, B_2) + P(A_4, B_3) = 0.11 + 0.04 + 0.06 = 0.21
\]
接下来，求解各个\(B_j\)的概率：
\[
P(B_1) = \sum_{i=1}^{4} P(A_i, B_1) = P(A_1, B_1) + P(A_2, B_1) + P(A_3, B_1) + P(A_4, B_1) = 0.1 + 0.05 + 0.05 + 0.11 = 0.31
\]
同理可得：
\[
P(B_2) = P(A_1, B_2) + P(A_2, B_2) + P(A_3, B_2) + P(A_4, B_2) = 0.08 + 0.03 + 0.12 + 0.04 = 0.27
\]
\[
P(B_3) = P(A_1, B_3) + P(A_2, B_3) + P(A_3, B_3) + P(A_4, B_3) = 0.13 + 0.09 + 0.14 + 0.06 = 0.42
\]
**总结**：通过题目给定的概率关系式，我们计算了所有\(A_i\)和\(B_j\)的概率值，这有助于理解如何利用联合概率来求解边缘概率的基本方法。
### Problem2.2: 条件概率链式规则证明
题目描述：证明条件概率的链式规则对于任意\(n\)均成立。
**解析**：
题目要求证明条件概率的链式规则对于任意正整数\(n\)都成立，即对于随机变量\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)，有：
\[
p(x_1, x_2, \ldots, x_n) = p(x_n|x_{n-1}, \ldots, x_1) p(x_{n-1}|x_{n-2}, \ldots, x_1) \cdots p(x_1)
\]
**证明**：
采用数学归纳法证明。
- **基本情况**：当\(n=2\)时，显然有\(p(x_1, x_2) = p(x_2|x_1) p(x_1)\)。
- **归纳假设**：假设当\(n=k\)时结论成立，即：
\[
p(x_1, x_2, \ldots, x_k) = p(x_k|x_{k-1}, \ldots, x_1) p(x_{k-1}|x_{k-2}, \ldots, x_1) \cdots p(x_1)
\]
- **归纳步骤**：考虑\(n=k+1\)的情况，根据全概率公式有：
\[
p(x_1, x_2, \ldots, x_k, x_{k+1}) = p(x_{k+1}|x_k, \ldots, x_1) p(x_1, x_2, \ldots, x_k)
\]
根据归纳假设可知：
\[
p(x_1, x_2, \ldots, x_k) = p(x_k|x_{k-1}, \ldots, x_1) p(x_{k-1}|x_{k-2}, \ldots, x_1) \cdots p(x_1)
\]
因此：
\[
p(x_1, x_2, \ldots, x_k, x_{k+1}) = p(x_{k+1}|x_k, \ldots, x_1) p(x_k|x_{k-1}, \ldots, x_1) \cdots p(x_1)
\]
这表明当\(n=k+1\)时结论仍然成立。根据数学归纳法原理，结论对于任意正整数\(n\)均成立。
**总结**：通过数学归纳法证明了条件概率链式规则对于任意\(n\)均成立。这一规则在处理多维随机变量的概率分布问题时非常有用，特别是在数字通信领域中信号的建模和分析中发挥着重要作用。
### Problem2.3: 变换概率密度函数
题目描述：证明对于连续随机变量\(X\)和\(Y\)，其中\(Y = aX + b\)（\(a \neq 0\)），\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)与\(X\)的概率密度函数\(p_X(x)\)之间的关系。
**解析**：
题目要求证明对于两个连续随机变量\(X\)和\(Y\)，其中\(Y = aX + b\)，\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)与\(X\)的概率密度函数\(p_X(x)\)之间的关系是：
\[
p_Y(y) = \frac{1}{|a|} p_X\left(\frac{y-b}{a}\right)
\]
**证明**：
对于连续随机变量\(X\)和\(Y\)，其中\(Y = aX + b\)，由概率密度函数的性质可知，对于任意实数\(y\)，有：
\[
P(Y \leq y) = P(aX + b \leq y) = P\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right)
\]
对上式两边分别对\(y\)求导得到\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)与\(X\)的概率密度函数\(p_X(x)\)之间的关系：
\[
p_Y(y) = \frac{d}{dy} P(Y \leq y) = \frac{d}{dy} P\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right) = \frac{1}{|a|} p_X\left(\frac{y-b}{a}\right)
\]
这里需要注意的是，在计算导数时，由于\(X\)和\(y\)之间的关系是非线性的（取决于\(a\)的符号），因此需要将\(\frac{1}{|a|}\)作为系数引入，以确保导数计算的正确性。
**总结**：通过直接利用概率密度函数的定义和性质，证明了连续随机变量\(X\)经过线性变换后得到的新随机变量\(Y\)的概率密度函数与原随机变量\(X\)的概率密度函数之间的关系。该结论在数字通信中处理信号变换时具有重要意义。
### Problem2.4: 高斯随机变量变换后的概率密度函数
题目描述：已知一个高斯随机变量\(X\)，其均值为0，方差为1，求经过非线性变换后的随机变量\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)。
**解析**：
已知随机变量\(X\)为高斯随机变量，其均值为0，方差为1，即\(p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\)。现在要求经过非线性变换后的随机变量\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)，其中\(Y = a(X - b)^{2/3}\)。
根据题目给定的变换关系，我们知道：
\[
p_Y(y) = \frac{1}{3a} \left(\frac{y-b}{a}\right)^{\frac{2}{3}} p_X\left(\left(\frac{y-b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\right)
\]
代入\(X\)的概率密度函数表达式，可以得到\(Y\)的概率密度函数\(p_Y(y)\)为：
\[
p_Y(y) = \frac{1}{3a\sqrt{2\pi}} \left(\frac{y-b}{a}\right)^{\frac{2}{3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y-b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}}
\]
**总结**：通过直接代入已知的高斯随机变量的概率密度函数，并利用概率密度函数的性质，求得了经过非线性变换后的随机变量\(Y\)的概率密度函数。这一结果在数字通信中处理非线性信号变换时非常重要，特别是当涉及到信号的统计特性分析时。
### Problem2.5: 随机变量变换及独立性
题目描述：对于两个复随机变量\(X_r, X_i\)以及变换后的随机变量\(Y_r, Y_i\)，求解它们的概率密度函数，并讨论它们的独立性。
**解析**：
已知\(X_r, X_i\)为统计独立的随机变量，且服从相同的概率密度函数。我们需要求解变换后的随机变量\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数，并讨论它们的独立性。
**子问题(a)**：求解\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数。
**解析**：
根据题目描述，已知\(X_r, X_i\)为统计独立的随机变量，且它们的概率密度函数为：
\[
p_X(x_r, x_i) = p_X(x_r) p_X(x_i) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x_r^2 + x_i^2}{2\sigma^2}}
\]
接下来，通过变换\(Y_r+jY_i=(X_r+X_i)e^{j\phi}\)得到\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数。变换关系可以表示为：
\[
X_r = Y_r\cos\phi + Y_i\sin\phi, \quad X_i = -Y_r\sin\phi + Y_i\cos\phi
\]
计算雅可比行列式\(J\)，得到\(J = 1\)。因此，根据概率密度函数的变换公式，我们可以得到\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数为：
\[
p_Y(y_r, y_i) = p_X(y_r\cos\phi + y_i\sin\phi, -y_r\sin\phi + y_i\cos\phi) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{y_r^2 + y_i^2}{2\sigma^2}}
\]
这意味着\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数与\(X_r, X_i\)相同。
**子问题(b)**：讨论\(Y_r, Y_i\)的独立性。
**解析**：
为了讨论\(Y_r, Y_i\)的独立性，我们需要验证它们是否满足统计独立的条件，即\(p_Y(y_r, y_i) = p_Y(y_r) p_Y(y_i)\)。
根据前面求得的概率密度函数，我们有：
\[
p_Y(y_r, y_i) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{y_r^2 + y_i^2}{2\sigma^2}}
\]
为了使\(Y_r, Y_i\)统计独立，我们需要\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数分解为两个独立随机变量的概率密度函数的乘积形式。考虑到\(Y = AX\)的形式，其中\(X = [X_r, X_i]^T\)，\(Y = [Y_r, Y_i]^T\)，我们有：
\[
p_Y(y) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}} \frac{1}{|\text{det}(A)|} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} y^T (A^{-1})^T A^{-1} y}
\]
为了使\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数分解为独立随机变量的概率密度函数的乘积形式，需要满足：
\[
|\text{det}(A)| = 1 \quad \text{且} \quad (A^{-1})^T A^{-1} = I
\]
这意味着矩阵\(A\)必须是单位矩阵（对于二维情况）或正交矩阵。因此，我们得出结论：\(Y_r, Y_i\)只有在\(A\)为单位矩阵或正交矩阵的情况下才是统计独立的。
**总结**：通过求解变换后的随机变量\(Y_r, Y_i\)的概率密度函数并讨论它们的独立性，我们不仅得到了这些随机变量的概率密度函数的具体形式，而且也探讨了在什么条件下这些随机变量是统计独立的。这对于理解数字通信系统中信号变换的影响具有重要意义。
### Problem2.6: 特征函数的应用
题目描述：已知随机变量\(X\)的特征函数为\(\psi_X(e^{jv}) = 1 + p + pe^{jv}\)，求随机变量\(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\)的特征函数\(\psi_Y(jv)\)。
**解析**：
题目要求我们求解随机变量\(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\)的特征函数\(\psi_Y(jv)\)，其中\(X_i\)是独立同分布的随机变量，且已知\(X\)的特征函数为\(\psi_X(e^{jv}) = 1 + p + pe^{jv}\)。
**求解**：
根据特征函数的性质，我们知道对于独立同分布的随机变量\(X_i\)，随机变量\(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\)的特征函数可以通过各个\(X_i\)的特征函数的乘积来表示。因此，我们有：
\[
\psi_Y(jv) = (\psi_X(e^{jv}))^n
\]
代入已知的特征函数\(\psi_X(e^{jv}) = 1 + p + pe^{jv}\)，可以得到\(Y\)的特征函数为：
\[
\psi_Y(jv) = (1 + p + pe^{jv})^n
\]
**总结**：通过利用特征函数的性质，我们成功地求得了随机变量\(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\)的特征函数\(\psi_Y(jv)\)。这一结果在分析数字通信系统中的信号统计特性时非常重要，尤其是当涉及到多个独立同分布随机变量的组合时。
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