计算几何常用算法小结

计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。 作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法 计算几何是计算机科学中一个关键的分支，它专注于利用算法解决几何问题。这些问题在现实世界中广泛出现，尤其是在图形学、机器人技术、集成电路设计、统计等多个领域。本篇文章将概述计算几何的一些基础概念和常见算法，以帮助读者理解和应用这些知识。 一、计算几何的基础 1. **矢量**：在计算几何中，矢量是具有方向和大小的量，通常表示为有序的点对。例如，如果一个点P1在原点，那么矢量P2就表示从原点到点P2的有向线段。 2. **矢量加减法**：两个矢量P和Q的加法是它们终点的连线，减法则是P指向Q的矢量。在二维空间中，加减法可以按照坐标进行运算：P + Q = (x1 + x2, y1 + y2) 和 P - Q = (x1 - x2, y1 - y2)。 3. **矢量叉积**：叉积用于判断矢量的方向关系。对于二维空间中的矢量P和Q，叉积P × Q = x1*y2 - x2*y1。如果P × Q > 0，P在Q的顺时针方向；如果P × Q < 0，P在Q的逆时针方向；如果P × Q = 0，P和Q共线。 二、几何问题的算法 1. **折线段的拐向判断**：通过计算相邻线段的矢量叉积，可以确定折线段的拐向。如果(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0，拐向右侧；如果(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0，拐向左侧。 2. **判断点是否在线段上**：点Q在线段P1P2上当且仅当(Q - P1) × (P2 - P1) = 0，并且Q位于以P1和P2为对角顶点的矩形内。 3. **判断两线段是否相交**：首先进行快速排斥试验，比较线段对角线所在的矩形是否相交。如果相交，再进行跨立试验，看线段是否相互跨越。 三、其他几何问题的处理 1. **判断点是否在矩形内**：检查点的坐标是否在矩形的边界之内。 2. **判断线段与矩形的关系**：检查线段的端点是否都在矩形内。 3. **判断多边形与矩形的关系**：对多边形的每个顶点进行点在矩形内的判断，以及线段在矩形内的判断。 4. **判断圆与矩形的关系**：检查圆心和半径是否在矩形内或与矩形边界相交。 5. **判断点、线段、折线、多边形是否在圆内**：检查它们到圆心的距离。 6. **求最近点和交点**：可以使用距离公式和线段交点的计算方法来找到最近点和交点坐标。 7. **凸包**：凸包是一组点中包围所有点的最小凸多边形，求凸包的算法如 Graham's Scan 或 Jarvis March。 计算几何的算法不仅限于上述内容，还包括更复杂的问题，如旋转卡尔霍恩算法、最近点对问题、最短路径问题等。这些算法在实际应用中至关重要，因为它们能够高效地处理几何数据，为计算机图形学、地图学、物理模拟等领域提供强大的工具。掌握这些算法，能有效提升解决实际问题的能力。