计算几何算法是计算机科学中的一个重要领域，涉及到二维和高维空间中的几何形状处理。这个领域主要研究如何高效地解决与几何对象相关的各种问题，如计算凸包、三角剖分、几何结构验证、Delaunay三角剖分、Voronoi图等。在本章节中，我们将深入探讨这些核心概念，并通过实际的算法和实现来阐述它们。
10.1 凸包(Convex Hulls)
凸包问题是计算几何的基础问题之一，用于找出一组点在平面上形成的最小凸多边形，包含所有输入点。凸包算法通常采用扫面法，首先对输入点按某种顺序排序，然后逐个处理点构建凸包。经典的算法有Graham扫描、Andrew's剪切和Jarvis步进法。这些算法都展示了如何通过增量构建的方式来解决复杂几何问题。
10.2 三角剖分(Triangulations)
三角剖分将一个多边形划分为一系列互不相交的三角形，保持连接性。它在图形渲染、物理模拟等领域中有广泛应用。Delaunay三角剖分是一种特殊的三角剖分，其中每个三角形的内切圆没有输入点位于其内部。这种剖分在计算上具有很多优势，例如保证了邻接三角形的锐角。
10.3 几何结构验证
验证几何结构涉及检查给定的几何构造是否满足特定的数学性质，如检查一个三角形是否真是由三个顶点构成的，或者一个链是否表示了一个闭合的路径。
10.4 Delaunay三角剖分和Delaunay图
Delaunay图是Delaunay三角剖分的对偶图，其中每个顶点对应一个输入点，每条边对应Delaunay三角形的一条边。Delaunay图在许多应用中都很重要，因为它提供了空间分割的良好特性，比如最近邻查询和避免自相交。
10.5 Voronoi图(Voronoi Diagrams)
Voronoi图是将空间分成多个区域，每个区域包含一个点，且该区域内所有点到该点的距离小于到其他点的距离。Voronoi图在地理信息系统、碰撞检测和数据聚类中都有广泛的应用。
10.6 点集和动态Delaunay三角剖分
在动态场景中，点集可能会发生变化，动态Delaunay三角剖分允许快速响应这些变化，保持剖分的正确性。
10.7 线段交点检测
线段交点检测是计算几何中的基本操作，广泛用于图形绘制、路径规划等问题。高效的算法可以确保在大规模数据集上的性能。
10.8 多边形
多边形处理涉及到多边形的遍历、剪裁、合并等操作。在计算机图形学和游戏开发中，多边形是建模的基础元素。
10.9 高维几何算法
随着维度的增加，几何问题的复杂性也随之上升。高维计算几何关注点、线、面等更高维度对象的处理，适用于数据分析和机器学习等领域的多维数据处理。
10.10 完整程序：Voronoi演示
通过一个完整的Voronoi图演示程序，我们可以看到如何将上述理论应用于实践，实现交互式和可视化的效果。
参考书籍和资源，如[Meh84b, Ede87, PS85, Mul94, Kle97, BY98, dBKOS97, CGAL, LEDA扩展包]，提供了更全面的计算几何知识。
总结来说，计算几何算法涉及一系列复杂的几何问题，通过巧妙的数学方法和算法设计，我们可以有效地处理这些问题。扫面法、三角剖分、Delaunay图和Voronoi图等工具是计算几何的核心组成部分，它们在各种应用中都有着重要的作用。理解和掌握这些概念，对于从事图形处理、地理信息系统、游戏开发等领域的工作至关重要。
