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极坐标系和常见曲线及参数方程习题.doc
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极坐标系和常见曲线及参数方程习题.doc
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极坐标系和常见曲线及参数方程习题
极坐标 系 :
在平面取一个定点 O, 叫极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向
〔通常取逆时针方向〕。对于平面任何一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的
角度,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点 M 的极坐标,这样建立的坐
标系叫做极坐标系。
在极坐标系中表示点
点(3,60°) 和 点〔4,210°〕
在极坐标中,x 被 ρcosθ 代替,y 被 ρsinθ 代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5
正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴:r〔半径坐标〕和 θ〔角坐标、极
角或方位角,有时也表示为 φ 或 t〕。r 坐标表示与极点的距离,θ 坐标表示按逆时针方向
坐标距离 0°射线〔有时也称作极轴〕的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的 x 轴正方向。
比方,极坐标中的〔3,60°〕表示了一个距离极点 3 个单位长度、和极轴夹角为 60°
的点。〔−3,240°〕 和〔3,60°〕表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长
线上距离极点 3 个单位长度的地方〔240° − 180° = 60°〕。
极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无
限种表达形式。通常来说,点〔r,θ〕可以任意表示为〔r,θ ± n×360°〕或〔−r,θ ±
(2n + 1)180°〕,这里 n 是任意整数。[7] 如果某一点的 r 坐标为 0,那么无论 θ 取何值,
该点的位置都落在了极点上。
思:平面上一点的极坐标是否唯一?
1. 不唯一有多少种表示方法? 2.坐标不唯一不同是由谁引起的?3.不同的极坐标是否可
以写出统一表达式?
答案:1.极坐标系的建立需确定几条?
极点;极径;长度单位和角度正方向。
2. 极坐标系一点的极坐标有多少种表达式?
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无数种。是因为极角引起的。
3. 一点的极坐标有否统一的表达式?
有。
4
2
k,
两坐标系转换
极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值
x = r*cos〔θ〕,
y = r*sin〔θ〕,
由上述二公式,可得到从直角坐标系中 x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标
r = sqrt(x^2 + y^2),
θ= arctan y/x
在 x = 0 的情况下:假设 y 为正数 θ = 90° 〔π/2 rad); 假设 y 为负,那么 θ =
270° (3π/2 rad)
〔rad 表示弧度〕
圆
在极坐标系中极坐标系标准方程:
ρ=r(常量) 或者 ρ=e*p/(1-e*cos(θ))。(e=0)。
圆心在〔r,φ〕 半径为 r 的圆的方程为 ρ=2rcos〔θ-φ〕
另:圆心 M(ρ',θ') 半径 r 的圆的极坐标方程为: (ρ')^2+ρ^2-2ρρ'cos(θ-θ')=r^2
根据余弦定理可推得。
方程为 r〔θ〕=1 的圆
椭圆
直角坐标系标准方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1。
极坐标系标准方程:ρ=e*p/(1-e*cos(θ))。(0<e<1)
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玫瑰线
极坐标的玫瑰线〔polar rose〕是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只
能用极坐标方程来描述,方程如下:
r〔θ〕 = a*cos kθ 或 r〔θ〕 = a sin kθ,
如果 k 是整数,当 k 是奇数时那么曲线将会是 k 个花瓣,当 k 是偶数时曲线将是 2k
个花瓣。如果 k 为非整数,将产生圆盘〔disc〕状图形,且花瓣数也为非整数。注意:该
方程不可能产生 4 的倍数加 2〔如 2,6,10……〕个花瓣。变量 a 代表玫瑰线花瓣的长
度。
玫瑰线是极坐标方程 ρ=acosnθ 或 ρ=asinnθ〔0≤θ<2π〕所表示的曲线。例如,
曲线 ρ=asin3θ 是三叶玫瑰线,ρ=acos2θ 是四叶玫瑰线。
三叶玫瑰线 方程为 r〔θ〕 = 2 sin 4θ 的玫瑰线
阿基米德螺线
定义:动点沿一直线作等速移动,而此直线又围绕与其直交的轴线作等角速的旋转运动时,
动点在该直线的旋转平面上的轨迹。
右图为方程 r〔θ〕 = θ for 0 < θ < 6π 的一条阿基米德螺线。
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:r〔θ〕 = a+bθ,
改变参数 a 将改变螺线形状,b 控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺
线,一条 θ > 0,另一条 θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转
90°/270°得到其镜像,就是另一条螺线。
一条阿基米德螺线
它的极坐标方程为:r = aθ,这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。笛卡尔坐标方程
式为:r=10*(1+t)x=r*cos(t * 360) y=r*sin(t *360)z=0
阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r〔θ〕= a+ b〔θ〕
在极坐标系与平面直角坐标系〔笛卡尔坐标系〕间转换:
极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值
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由上述二公式,可得到从直角坐标系中 x 和 y 两 坐 标 如 何 计 算 出 极 坐 标 下 的 坐 标
摆线(外摆线、摆线)
定义:在平面上,一个动圆〔发生圆〕沿着一条固定的直线〔基线〕或固定圆〔基圆〕作
纯滚动时,此动圆上一点的轨迹。
一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位
置为坐标原点,定直线为 x 轴。当圆滚动 j 角以后,圆上定点从 O 点位置到达 P 点位置。
当圆滚动一周,即 j 从 O 变动 2π 时,动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周,
动圆上定点描画出第二拱,继续滚动,可得第三拱,第四拱……,所有这些拱的形状都是
完全一样的 ,每一拱的拱高为 2a〔即圆的直径〕,拱宽为 2πa〔即圆的周长〕。摆线有
一个重要性质,即当一物体仅凭重力从 A 点滑落到不在它正下方的 B 点时,假设沿着
A,B 间的摆线,滑落所需时间最短,因此摆线又称最速降曲线。
摆线
摆线具有如下性质:
1.它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是,它的长度是 一个不依赖于 π
的有理数.
2.在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍。
3.圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在特定的地方它甚至是静止的。
4.当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底部
方程式:
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