根据给定的2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题的部分内容，我们可以从中提炼出以下几个重要的知识点：
### 一、等价无穷小概念及其应用
**知识点概述**：
等价无穷小是在极限计算中常用的一个概念，指的是两个无穷小量在某一点处的比值极限为1。等价无穷小的性质可以用来简化极限计算。
**例题解析**：
题目中的第一题给出了两个无穷小量\(f(x)=\sin x - ax\) 和 \(g(x)=\ln(1+x)-bx\) ，并要求当\(x \to 0\)时它们等价。这意味着存在常数\(a\)和\(b\)使得\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - ax}{\ln(1+x)-bx} = 1\)。利用洛必达法则或者泰勒展开来解决这类问题通常比较简便。
**解析**：
1. **洛必达法则**：分别求出\(f(x)\)和\(g(x)\)的导数，然后根据等价无穷小的定义进行求解。
2. **泰勒展开**：将\(\sin x\)和\(\ln(1+x)\)展开为关于\(x\)的幂级数，通过对比系数来确定\(a\)和\(b\)的值。
**正确答案**：根据泰勒展开或洛必达法则，可以得到\(a=\frac{1}{6}\)，\(b=-\frac{1}{2}\)。因此，正确答案是(A)。
### 二、多重积分的应用
**知识点概述**：
多重积分是计算几何图形面积、体积等的重要工具，特别是在处理平面或空间中的不规则图形时尤为有用。
**例题解析**：
题目中的第二题要求计算正方形四个区域内积分的最大值，其中积分表达式为\(I_k = \int_D \int y \cos k(x^2+y^2) dxdy\)，\(k=1,2,3,4\)。此题主要考查学生对积分的计算能力和理解。
**解析**：
由于积分区域是对称的，可以通过分析函数\(y \cos k(x^2+y^2)\)的性质来判断积分结果的大小关系。通过观察可以发现，对于不同的\(k\)值，积分结果的大小受到\(k\)值的影响，而这种影响主要体现在\(\cos\)函数的振荡上。
**正确答案**：通过分析可知，当\(k=3\)时，积分的值最大，即\(I_3\)最大。因此，正确答案是(C)。
### 三、定积分的应用
**知识点概述**：
定积分可以用来计算函数的原函数，也可以用来求解几何图形的面积等问题。
**例题解析**：
题目中的第三题给出了函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的图像，并要求求解函数\(F(x) = \int_0^x f(t)dt\)。此题考察了定积分的基本概念及其应用。
**解析**：
根据定积分的定义，\(F(x)\)实际上是\(f(x)\)在区间\([0,x]\)上的累积效应，也就是函数\(f(x)\)在该区间上的“净面积”。
**正确答案**：由于题目未给出具体图像，无法给出精确答案。但可以根据定积分的性质来讨论\(F(x)\)的变化趋势。
### 四、级数的概念及收敛性
**知识点概述**：
级数的收敛性是数列论中的一个基本问题，涉及到级数的收敛、发散以及绝对收敛等概念。
**例题解析**：
题目中的第四题给出了两个数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，并要求判断某些级数的收敛性。这道题考察的是级数收敛性的基础知识。
**解析**：
本题的关键在于理解级数的收敛性以及级数乘积的性质。选项中涉及到级数的收敛性和发散性，需要根据级数的基本理论进行判断。
**正确答案**：根据级数的收敛性质，选项(A)和选项(B)都不成立；选项(C)正确，因为当\(\sum |b_n|\)收敛时，\(\sum a_n b_n\)的平方也收敛；选项(D)不成立。因此，正确答案是(C)。
### 五、矩阵运算和线性代数基础
**知识点概述**：
矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，包括矩阵的加法、乘法、逆矩阵等。
**例题解析**：
题目中的第六题要求计算分块矩阵的伴随矩阵。这个问题涉及到了矩阵的伴随矩阵、行列式的计算等知识点。
**解析**：
需要了解矩阵伴随矩阵的定义和计算方法。对于分块矩阵的伴随矩阵计算，可以通过公式或矩阵运算的方法来求解。
**正确答案**：根据矩阵伴随矩阵的性质，可以推导出正确答案为(D)。
以上是针对2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题部分内容的解析。这些知识点不仅限于本次考试，也是整个数学学科中非常重要的基础内容。通过对这些知识点的学习和掌握，可以为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
