北邮数值与符号计算实验 数值积分

1.1 double gauss_ch1(double(*f)(double), int n);求积分∫_(-1)^1 f(x)dx/√(1-x^2 ) 实现n点Gauss-Chebyeshev积分公式；返回积分的近似值。 在区间[-1,1]上关于权函数1/√(1-x^2 )的正交多项为T_n (x)=cos(narccos(x))，T_n (x)在[-1,1]上的n个根是x_k=cos⁡((2k-1)/2n π)，k=1,…,n. n点Gauss-Chebyeshev积分公式为∫_(-1)^1 f(x)dx/√(1-x^2 )≈π/n ∑_(k=1)^n f(cos⁡((2k-1)/2n π)) 1.2 double gauss_ch2(double(*f)(double), int n); 求积分∫_(-1)^1 √(1-x^2 ) f(x)dx 实现n点Gauss-Chebyeshev II型积分公式；返回积分的近似值。 在区间[-1,1]上关于权函数√(1-x^2 )的正交多项为U_n (x)=sin⁡((n+1)arccos⁡(x))/sin⁡(arccos⁡(x)) ，U_n (x)在[-1,1]上的n个根是x_k=cos⁡(kπ/(n+1))，k=1,…,n. n点Gauss-Chebyeshev II型积分公式为 ∫_(-1)^1 √(1-x^2 ) f(x)dx≈π/(n+1) ∑_(k=1)^n sin^2 (kπ/(n+1))f(cos⁡(kπ/(n+1))) 1.3 double comp_trep(double (*f)(double), double a, double b);求积分∫_a^b f(x)dx 函数实现逐次减半法复化梯形公式；返回积分的近似值。 1.4 double romberg(double (*f)(double), double a, double b); 求积分∫_a^b f(x)dx 函数实现Romberg积分法；返回积分的近似值。 1.5 double gauss_leg_9(double (*f));求积分∫_(-1)^1 f(x)dx 实现9点Gauss-Legendre求积公式。 使用上面实现的各种求积方法求下面的积分：∫_(-1)^1 e^x √(1-x^2 ) dx (=∫_(-1)^1 (xe^x)/√(1-x^2 ) dx) 使用第3，4，5个函数求积分：∫_0^(π/2) sin⁡x dx (=1) 在数值积分领域，本文主要介绍了五种不同的积分求解方法，它们被应用于北邮的数值与符号计算实验中。这些方法包括Gauss-Chebychev积分公式（两种类型）、逐次减半法复化梯形公式、Romberg积分法以及9点Gauss-Legendre求积公式。 1. Gauss-Chebychev积分公式： 这种方法基于Chebyshev多项式，分为第一型和第二型。第一型适用于权函数为1/√(1-x^2)的情况，其正交多项式为T_n(x) = cos(narccos(x))。第一型的n点Gauss-Chebychev积分公式可以用来求解∫_(-1)^1 f(x)dx/√(1-x^2)，其中积分的近似值可通过计算π/n乘以f(cos((2k-1)/2nπ))的n个点的加权和来获得。 2. Gauss-Chebychev II型积分公式： 第二型针对权函数为√(1-x^2)，对应的正交多项式是U_n(x) = sin((n+1)arccos(x))/sin(arccos(x))。第二型的n点公式用于求解∫_(-1)^1 √(1-x^2) f(x)dx，其近似值等于π/(n+1)乘以f(cos(kπ/(n+1)))的n个点的加权和。 3. 逐次减半法复化梯形公式（comp_trep）： 该方法通过不断将积分区间减半，逐步提高精度。当相邻两次迭代的差值小于给定的误差阈值ε的3/4时，计算结束。它适用于求解一般的定积分∫_a^b f(x)dx，并返回近似值。 4. Romberg积分法： Romberg法利用矩形法则和梯形法则的组合，通过高阶导数逼近来提高精度。当(3)次迭代的差值与(3)次迭代的值之比小于ε时停止，返回的近似值更准确。 5. 9点Gauss-Legendre求积公式： 这是一种基于Legendre多项式的数值积分方法，适用于积分∫_(-1)^1 f(x)dx。9个节点和相应的权重系数被预先计算好，通过求解这9个点的f(x)值并加权求和来得到积分的近似值。 实验中给出了具体的应用示例，比如求解∫_(-1)^1 e^x √(1-x^2) dx，以及∫_0^(π/2) sin(x) dx。这两个积分分别使用了Gauss-Chebychev II型、逐次减半法复化梯形公式和Romberg积分法进行求解，验证了各种方法的有效性。 总结来说，这些数值积分方法提供了在实际问题中估算积分值的工具，它们各有特点，适用于不同类型的积分问题。在实验中，通过编程实现了这些算法，以帮助学生理解和掌握数值积分的基本思想和操作流程。