### 考研数学公式手册知识点详解
#### 一、高等数学
##### (一) 函数、极限、连续
**1. 函数的概念**
- **定义**: 设有两个变量 \(x\) 和 \(y\)，变量 \(x\) 的定义域为 \(D\)，如果对于 \(D\) 中的每一个 \(x\) 值，按照一定的法则，变量 \(y\) 有一个确定的值与之对应，则称变量 \(y\) 为变量 \(x\) 的函数，记作 \(y = f(x)\)。
- **基本初等函数**:
- 幂函数: \(y = x^\mu\), 其中 \(\mu \in \mathbb{R}\)。
- 指数函数: \(y = a^x\), 其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数: \(y = \log_a x\), 其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。
- 三角函数: 如 \(y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x\) 等。
- 反三角函数: 如 \(y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x\) 等。
**2. 数列极限与函数极限**
- **定义**: 如果对于任何 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|x - x_0| < \delta\) 时，都有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么称 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。
- **性质**:
- 左极限与右极限: 当 \(x\) 从左侧接近 \(x_0\) 时，\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)；从右侧接近时，\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\)。
- 保号定理: 若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 且 \(A > 0\) 或 \(A < 0\)，则存在 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x) > 0\) 或 \(f(x) < 0\)。
**3. 无穷小与无穷大**
- **无穷小的概念**:
- 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\)，则称 \(f(x)\) 是关于 \(x \to x_0\) 的无穷小。
- 高阶无穷小: 若 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 关于 \(x \to x_0\) 的高阶无穷小。
- 同阶无穷小: 若 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶无穷小。
- 等价无穷小: 若 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小。
- **常用的等阶无穷小**:
- 当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x, \arcsin x \sim x, \tan x \sim x, \arctan x \sim x, \ln(1 + x) \sim x, e^x - 1 \sim x\)。
- 当 \(x \to 0\) 时，\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2, (1 + x)^n - 1 \sim nx\)。
- **无穷小的性质**:
- 有限个无穷小的代数和为无穷小。
- 有限个无穷小的乘积为无穷小。
- 无穷小乘以有界变量为无穷小。
- **无穷大的概念**:
- 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty\)，则称 \(f(x)\) 是关于 \(x \to x_0\) 的无穷大。
- **极限的四则运算**:
- 若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 且 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = B\)，则 \(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)，\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = AB\)，\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\) （\(B \neq 0\)）。
**4. 极限存在的两个准则**
- **单调有界准则**: 若数列单调递增（或递减）并且有上界（或下界），则该数列一定收敛。
- **夹逼准则** (夹挤定理): 若在 \(x_0\) 的某个去心邻域内，有 \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)，且 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L\)，则 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = L\)。
以上是考研数学中关于函数、极限和连续的基础知识点。掌握这些概念和原理是进一步学习高等数学其他部分的基础。接下来的部分将涉及一元函数微分学、一元函数积分学等内容，这些也是考研数学的重要组成部分。
