考研数学公式手册随身看(打印版).pdf

所需积分/C币:44 2019-08-30 11:58:42 531KB PDF
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考研数学公式手册随身看(打印版),总结了高等数学里面所有主要内容。
f(5)=max{(x),ξ∈[a,b] 切线和设函数f(x)在x=x处可导,则(x)在M(x,1)处的 法线 f(n)=min(f(x), mela, b 切线方程:y-yo=f(x0)(x-x0) (3)(介值定理)若函数∫(x)在[a,b]上连续,是介于f(a)与 法线方程:y-y0=-f1(x0) (x-x),f(x0)≠0 f(b)(或最大值M与最小值m)之间的任一实数则在[ab 四则运算法则:设函数u=u(x),v=(x)在点x可导贝 (1)(u±y)=t d(u+v= du + di 上至少彐一个5,使得f()=u.(a≤≤b) (2)(uv=uv'+wul' d(uv)=udv+vdn vu-uv au-ua (v≠0) (4)(零点定理或根的存在性定理)设函数f(x)在[ab]上连 基本导数与微分表 续,且f(a)·f(b)<0,则在(ab)内至少彐一个ξ,使得 (1)y=c(常数) (2)y=x(a.为实数)y=x1d=ax°dhx f(5)=0.(a<5<b) In a dv=u Inax (二)一元函数微分学 特例 c 导数和微 考试内容 对应公式、定理、概念 分的四则 导数定义:f《x)=lmnf(x+x)-f(x)(1) 运算,初兮(4)y= rIna xIn a 函数的导 导数和微 特例y=lx(nx)’= d( x==d 数 分的概念 或 f(xo)=lim f(x-f( (5)y=sin x y=cosx (sin x)=cos xdx 左右导数 2函数f(x)在x处的左、右导数分别定义为: (6)y=cos x Sin x d(cos x)=-sin xdx 导数的几 何意义和/在导数 (7)y=tanx 物理意义(5)=im(x+Ax)-/f(x) -lim f(x)-f cos x (x=x0+△x)右导数 △r→0 x→0 y=cotx y= =-cSc"x d(cot x)=-csc xdx SIn ax f(o)=lin (+△)-(x)=im(x)-/(x) △x >x0 (9) y=sec x y'=sec x tan x d(sec x)-sec x tan xdx 函数的可Th:函数f(x)在x处可微分f(x)在处可导 (10)y=csc x y'=-cscxcotx d(csc x)=-csc x cot xdx 导性与连Th2:若函数y=fx)在点x处可导,则y=f(x)在点x处连续,反之则 (1) y=arcsin x d(arcsin x) 续性之间 不成立即函数迕续不一定可导 的关系平Th:(x)存在r(x1)=f(x) (12)y=arccos d (arccos x) 面曲线的 √1 (13)y=arctan y'=I (arctan x) x (4)(x)(0)=m(m-1)L(m-n+1)x (14)y=arc cot x y d( x=- (5)()(n=(-1)y(n-1 1+x (15)y=shx y=chin (6)莱布尼兹公式:若u(x),(x)均n阶可导,则 ( 16)y=chx snX d(chr)=shxdx (m)=∑c,l"y0),其中x0=u,p0=p 1反函数的运算法则:设y=f(x)在点x的某邻域内单调连 Thl(费马定理)若函数f(x)满足条件 续,在点x处可导且f(x)≠0,则其反函数在点x所对应的 (1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有 处可导,并且有=x f(x)≤f(x0)或f(x)>f(x), (2)f(x)在x处可导,则有f(x0)=0 复合函数,2复合函数的运算法则若H=q(x)在点x可导而y=f(和) 反函数,随在对应点(=q()导,则复合函数y=f0(x)在点x可 Th2(罗尔定理)设函数f(x)满足条件 函数以及导,且y=f(u)q(x) (1)在闭区间[a,b上连续; 参数方程 (2)在(a,b)内可导,则在(a,b)内彐一个ξ,使f(2)=0 3隐函数导数的求法一般有三种方法 所确定的 Ih3(拉格朗日中值定理)设函数f(x)满足条件 d x 函数的微(1)方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是 (1)在[a上连续;(2)在(a,b)内可导;则在(ab)内一个ξ,使 分 f(b)-f(a) x的复合函数例如-,y2,lny,e"等均是x的复合函数 f() 法 微分中值 定理,必达Th4(柯西中值定理)设函数f(x),g(x)满足条件 对κ求导应按复合函数连锁法则做 法则,(1)在[a小上连续;(2)在(ab)内可导且f(x),g(x)均存在,且g(x)≠0 (2)公式法由F(x,y)=0知如=2(xy,其中,F(x,y), 泰勒公式则在(内3一个,使0)/2=(5 (6-g(a) g(s F(x,y)分别表示F(x,y)对x和y的偏导数 洛必达法则: (3)利用微分形式不变性 法则1(0型)没函数r(x),g(x)满足条件: 常用高阶导数公式 inf(x)=0,limg(x)=0;f(x),g(x)在x的邻域内可导 x→>x0 高阶导数,(1)(x)m=alh"a(a>0)(e)"-c 阶微分 (在x处可除外)且g(x)≠0;m(存在(或∞)则 x→ 形式的不(2)(ink)"=k"5m(a+nx 变性 3)(cos kx)a=k"cos(kx+n=) lin x→x x→x 8(x 法则r(型)设函数f(x),g(x)满足条件 其中(以)≈f)(/5在0与x之间(1)式称为麦克劳林公式 (n+1) imf(x)=0,img(x)=0;3一个x>0,当x>X 常用五种函数在x0=0处的泰勒公式 n+1 1+x+x2+L+ 时,f(x),8(x)可导,且g(x)≠0:1m(存在或∞)则 2 (n+1) 或 1 +L t-x n g sinx=x-x+l+sin n兀 n sin(c+ T 2(n+1)! 法则Ⅱ(=型)设函数f(x),g(x)满足条件 或 nTC sin i/(x)=∞,limg(x)=∞;f(x),g(x)在x的邻域内可 nJT n 导(在x处可除外)且g(x)≠0;1m( 存在(或∞),则 或=1-x2+L+-cos+0(x") 2! lim ln(1+x)=x-1x2+x3-L+(-1)”+ l 同理法则m(型)仿法则I′可写出 n(n+1)(1+2)”+ 或 121 泰勒公式:设函数f(x)在点x处的某邻域内具有n+1阶导 数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x与x之间全少彐 一个ξ,使得 (1+x)”=1+mx2(m-1)x2+L+m(m-1)L(m=n+1) 2! f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x)+f"(x0)(x-x)2+L n(m-1)L(m-n+1) x(1+2)或 (n+1)! (1+x)"=1+mx+ m(m-1) +L (x-x0)”+R(x) m(m-1L(n r"+0(x") ! 其中R1(x) (+D(x-xy+1称为f(x)在点处的n阶泰勒斜「函数单调 f"( 性的判别,1函数单调性的判断 项令x0=0,则阶泰勒公式 函数的极Th设函数f(x)在(a,b)区间内可导,如果对x∈(a,b),都有f(x)>o 值,函数的(或f(x)<0),则函数f(x)在(ab)内是单调增加的(或单调减少) 图形的凹 f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x2+L+ x"+Rn(x)¨¨(1) 凸性,拐出Th2(取极值的必要条件)设函数f(x)在处可导,且在x处取极值 8 及渐近线,则f(x)=0 Th3(拐点的判别定理2)设f(x)在x点的某邻域内有三阶导数,国 用函数图 f"(x)=0,f"(x)≠0,则(x,f(x0)为拐点 形描绘西Th3(取极值的第一充分条件)设函数f(x)在x的某一邻域内可微, 数最大值 Hf(x)=0(或f(x)在x处连续,但f(x)个存在) 和最小值,(1)若当x经过x时,f(x)由“+”变“”,则f(xn)为极大值; 1.弧微分:dS=√1+y2dx (2)若当x经过x时,f(x)出“”变“+”,则∫(xn)为极小值 2.曲率:曲线y=f(x)在点(x,y)处的曲率k (3)若f(x)经过x=x的两侧不变号,则f(x)不是极值 弧微分, (1+y 率的概念 Th4(取极值的第二充分条件)设f(x)在点x处有fx)≠0,耳 曲率半径 对于参数方程x=9(k=w"()-q"y f(x)=0,则当疒"《x)<0时,f(xn)为极大值 y(t) [p2()+v"()j 当f"(x)>0时,∫(x)为极小值 3曲率半径:曲线在点M处的曲率kk≠0)与曲线在点M处的曲率半 注:如果f(x)=0,此方法失效 p有如下关系:p 2渐近线的求法 三)一元函数积分学 (1)水平渐近线若limf(x)=b,或imf(x)=b,则y=b 考试内容 对应公式、定理、概念 称为函数y=f(x)的水平渐近线 基本性质 (2)铅直渐近线若hmf(x)=∞,或lmf(x)=0,则x=x 原函数和1]1(4((k≠0为常数) 不定积分 称为y=f(x)的铅直渐近线 的概念, 2[(对)士f(=()4=Jf(x)士(x)土士(xM (3)斜渐近线若a=1im b=1im[f(x)-ax],则 基本性质3求导:可/4(0成改分,可几)一 y=x+b称为y=f(x)的斜渐近线 4∫F(x)hx=F(x)+C或∫F()=F(x)+C(C是任意常数) 3函数凹凸性的判断: xdx x+1+C(k≠-1) k+1 Thl(凹凸性的判别定理)若在I上f"(x)<0(或f"(x)>0), +c 则f(x)在I上是凸的(或凹的) 基本积分 公式 Th2(拐点的判别定理1)若在x处f"x)=0,(或fx)不存 -dx=In x+C 在),当x变动经过x时,fVx)变号,则(x2,f(x)为拐点 dx +C(a>0,a≠1) dx=e+c In a 0 11 cos xdx= sinx+c Sinxax cosx+o n- n 当n为偶数 (4)sin"xdx nn-222 d x=l xdx=tanx+C 2" xaxim-1n-3u21,当n为奇数 COS X J n=n dx=csc xdx=-cot x+C SIr (5)「 sin nx cosmid=J。 sin nx cos mdx n≠n d=∫escx=ln/scx-ot+C sin nx cos mxdx= sin nx cos mxdx=0 Sin x dx= sec xdx=Insec x+tan x+C COS x cos nx cos mxdx= cos nx cos mxdx=0= sec x tan xdx-secx+C cscx cot xdx--cscx+C 1.定积分的基本性质 tan xdx=-In cos x+c cot xdx=In lsin x+C (1)定积分只与被积函数和积分限有关,而与积分变量无关,即 =-arctan -+O arctan+C f(x)dx= f()dt=f(u)du=L -+x 1+x arcsin -+c dx一 arcsinx+o (2)f(x)dx=-f(x)dx db a+x l dx=b a a-x =lnx+√x2±a2|+C 定积分的(40(0=g/(M+门(h 概念和基 重要公式 本性质,定()∫4(k=:/()k(k为常数) (1)设f(x)在[-1,门]上连续,则 积分中值 定理 f(x)dx+「f(x)dx f(x)dx=f[(x)+f(x)]dx 0,当f(x)为奇函数 (7此较定理:设()g(x)x∈[a4则(xsJg(x)k ∫,(x)dx,当(x)为偶函数 推论:1.当(x)>0,x∈,时丁f(x)> 2)设f(x)是以T为周期的连续函数,a为任意实数,则 f (xdx= f(r)dx= 7 f(x)dx (8)估值定理:设m≤f(x)≤M,x∈[a,b其中m,M为常数,则 -xdx=- a m(b-a)≤J(ksM(b=a) 12 (9)积分中值定理:设(x)a,b上连续,则饪a,b止上至少一个, 2.定积分 使/(xh=(b-a)() 换元法:设函数(x)在[ab上连续,若xq()满足: f()= f(x) 半均值公式 (1)q()在[a,β]上连续,且o()≠0 设函数f(x)在[a,b上连续,x∈[a,b则变上限积分 (2)p(a)=a·φ(β)=b并且当t在[a,β]上变化时 ThI F(x)=J/(0对x可导 q(t)的值在[a,b]上变化,则 且有F(x)=六(m)s4 f(r)dx=flo(t)]o(t)dt. r(odo=r(x 分部积分公式 推论1设F()∫m”f(0),则F(x)=/o(x)9tx) (x)在[a,b上具有连续导函数u(x),v(x),则 积分七服推论2(m02=()x)-(].x) 的函数及 (x)yx)dx=u(x)v(x)-「 vIru(x 其导数,牛 p(x) (p(x) 推论3 顿—莱 f(1)g(x)ln)=(g(x)。f()l) 3.定积分不等式证明中常用的不等式 布尼兹公 g(x f(t)dt+g(flo(x)](x) (1)a2+b2≥2ab (2)a>0,a 式 2设f(x)在[a,b上连续,x∈[a,b],则 柯西不等式 f(x)是/(x)在[a,b上的个原函数 了/((25(()(y 其中f(x),g(x)在[a,b]上连续 Th3牛顿-莱布尼茨公式:设f(x)在[a,b上连续,F(x) 1.三角函数代换 是/(x)的原函数,则∫”f(x)dx=F()=F(b)=F(a) 有理函数函数f(x)含根式所作代换 角形示意图 1不定积分: 三角函数 分部积分法:y=-Jv选择u,cv的原则:积分容易者选 的有理式 和简单无 -a sin 不定积分 和定积分d求导简单者选为u 理函数的 积分,广 的换元积换元积分法:设∫/()m=F(m)+C 积分和定 2,、2 分法与分 √a2+x x=a tan t 积分的应 部积分法则/()pdj/()(x) 用 J-r-y itu=c(x) f(u)du=F(u)+C=F[o(x)]+C x=asec t 14 有理函数积分 念,向量 线性2向量的模:向量的大小记为 (1 dx=Alnx-a+C 3.向量的坐标表示:若向量用坐标表示 (2 dx n-1(x=a)1 +C(n≠1) =x+y+z=x,y,则出= 4向量的运算法则 ( dx (r+px+q P32,4-p 2小 (u +a I加减运算设有矢量x={x,y,2},b={x,y2,z2},则 x+-)+ X+a ±b={x1±x2,y1土y2,z1±z2} ( (x2+px+q)2(n-1)(x2+mx+q 2(x2+px+q) Ⅱ.数乘运算数乘运算∧矢量d与一数量λ之积λ以, (p2-4q<0) aax>0,即与洞同向 4.广义积分 0-0即为零矢量设a={x,,},则 (1)无穷限的广义积分(无穷积分) Xax<0即与饭反向 设(x)连续,则 b (xdx= lin λx,Ay1,221 2f(x)dx=lim∫”f(x)d 1矢量的数积(点积,内积) +了 f(rdx= f(x)dx+ f(x)dx 矢量2与6的数鼠积xb=( (2)无界函数的广义积分(瑕积分) 1∫”f(x)dx=lm∫”(x)d,(当x→b时,f(x)→∞) 设={x,y,z},b={x,y2,2},则次b=x2+y12+22 向量的数 量积和向2矢量的向量积(叉积,外积):设有两个向量2与b,若彐一个矢量 2. f(x)dx=lim ∫ f(x)dx,(当x→a「时,f( 量积,向满足如下条件 。/(x)dx+ limas(x)d 的混合积 (rax (1)1=a1sn(.b) 2)c⊥a,e⊥b,即c垂直于a,b所确定的平面; (四)向量代数和空间解析几何 (3)a,b,c成右手系则称矢量c为矢量d与b的矢量积,记c-a×b 设a={x,n,z}b= },则 考试内容 对应公式、定理、概念 向量的概 1向量:既有大小又有方向的量,又称矢量 16 17 (5)d,b,c共面台彐不全为零的数λ,μ,ν,使 a×b=x1y1z1 λa+pb+vc=0或者(a,b,c)=0 3混合积:设有三个矢量a,b.,若先作a,b的义积axb,与c作点 2单位冋量:模为1的向量.向量d的单位向量记作a 积(axb)C,则这样的数积称为矢量以,,c的混合积,记为(abc) 即(a,b,c)=(axb)·C va 设a={x,1,1},b={x2,y2,z2},c={x3,y3,z3} 3向量的方向余弦: J121 则(a,b OSD= 其中 √x+y+z 两向量垂 α,β,Y为向量d与各坐标轴正向的夹角 直平行的1向量之间的位置关系及结论 条件,两向 4单位冋量的方向余弦:显然a=(cosa,cosβ,cosy},且有 量的夹角,设X=W,2计},b={x2y,2},C={,,2 向量的坐 cOs a+ cOS 2β+cosY= 标表达式(1)a⊥b=ab=0耳++2=0 及其运算, 曲面方程1平面方程 和空间曲 单位向量, (2)a∥/b→a×b x1_y1 线方程的(1)般式方程Ax+By+Cz+D=0,法矢量n={4.C},若方程中 方向数 方向余弦, 概念,平町个坐标不出现,则平面就平行于该坐标轴,例如平面 其中x2,y2,z2之中有一个为“0”,如x2=0,应理解为x=0; 方程,直 +D=0/y轴 方程,平 (3)d,b不共线不全为零的数λ,u使 与平面、平(2)半面的点法式方程4(x-x)+B(y-y2)+C(2-0)=0M(x,y,2 a+μ . b 面与直线 为平面上已知点,n={A,B,C}为法矢量 直线与 (4)矢量d与b的夹角,可由下式求出 线的以及 x-x1y-12-21 平行、垂自()点式方程2-y2-y2 cos (Xb)=。3+均 的条件, y3-y123-21 R +V+21vx2 +y2 到平面和 点到直 M1(x,n1,z1),M2(x2,y2,2),M3(x,3z)为平面H的三个点 18

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