考研数学内部班必背考研数学公式.pdf

根据给定文件的信息，我们可以总结出一系列重要的考研数学知识点，主要涵盖高等数学的基础部分，具体包括函数、极限、连续等内容。下面将详细解释这些知识点。 ### 高等数学 #### (一) 函数、极限、连续 **考试内容** 1. **函数与隐函数** - 定义：如果对于定义域D中的每个x值，按照一定的法则，变量y都有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数。 - 表示方式：\(y = f(x)\) 2. **基本初等函数的性质及其图形** - 基本初等函数包括以下几类： - 幂函数：\(y = x^\mu\), 其中 \(\mu \in \mathbb{R}\) - 指数函数：\(y = a^x\), 其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\) - 对数函数：\(y = \log_a x\), 其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\) - 三角函数：如 \(y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x\) 等 - 反三角函数：如 \(y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x\) 等 - 初等函数是指通过有限次四则运算及复合步骤，由常数和基本初等函数构成的函数。 3. **数列极限与函数极限的定义及其性质** - 数列极限定义：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\)，都存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，有 \(|a_n - A| < \varepsilon\)，那么称数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)。 - 函数极限定义：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么称函数 \(f(x)\) 在 \(x \to x_0\) 时的极限为 \(A\)。 - 左极限与右极限：对于函数 \(f(x)\)，当 \(x\) 从左边趋近于 \(x_0\) 时，函数的极限称为左极限；从右边趋近时称为右极限。 - 保号定理：如果函数 \(f(x)\) 的极限为 \(A\)，且 \(A > 0\) 或 \(A < 0\)，那么存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x)\) 的符号与 \(A\) 相同。 4. **无穷小和无穷大的概念及其关系** - 无穷小的概念：如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时，其极限为 0，则称 \(f(x)\) 为 \(x \to x_0\) 时的无穷小。 - 无穷大的概念：如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时，其绝对值可以无限增大，则称 \(f(x)\) 为 \(x \to x_0\) 时的无穷大。 - 无穷小的性质及比较： - 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 - 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 - 无穷小乘以有界变量仍是无穷小。 - 同阶无穷小、等价无穷小的概念。 - 常见等价无穷小： - 当 \(x \to 0\) 时，\(x \sim \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim \ln(1 + x) \sim e^x - 1\) - 当 \(x \to 0\) 时，\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\), \(1 - (1 + x)^n \sim nx\), \(n \in \mathbb{Z}\) - 无穷小与无穷大的关系：在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零无穷小的倒数为无穷大。 5. **极限的四则运算** - 如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的极限分别为 \(A\) 和 \(B\)，则 - \(f(x) \pm g(x)\) 的极限为 \(A \pm B\) - \(f(x) \cdot g(x)\) 的极限为 \(A \cdot B\) - \(f(x) / g(x)\) 的极限为 \(A / B\)（当 \(B \neq 0\)） 6. **极限存在的两个准则** - 夹逼准则：如果对于所有 \(x\)，有 \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)，且当 \(x \to x_0\) 时，\(f(x)\) 和 \(h(x)\) 的极限均为 \(L\)，那么 \(g(x)\) 的极限也为 \(L\)。 - 单调有界定理：如果函数在某区间上单调递增（减）并且有上（下）界，则该函数在该区间上的极限一定存在。 以上内容覆盖了高等数学中函数、极限、连续的基础理论，是备考研究生入学考试的重要知识点。接下来的内容将深入探讨更高级的概念和技术，如微分学、积分学等。希望这些详细的知识点能够帮助考生更好地理解和掌握高等数学的核心内容。