坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念，特别是在解决几何问题时有着广泛的应用。坐标系，包括直角坐标系和极坐标系，是描述几何图形位置的基础工具。直角坐标系通过两个互相垂直的轴——x轴和y轴来定位点的位置，而极坐标系则是通过一个距离原点的距离（ρ）和一个角度（θ）来表示点的位置。
在第一题中，我们看到了如何将极坐标方程转化为直角坐标方程。圆C的极坐标方程为ρ^2 + 2ρsinθ - 4 = 0，通过ρ = x^2 + y^2和y = ρsinθ，x = ρcosθ的关系，可以转换成直角坐标方程(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 6，从而求得圆的半径。
第二题涉及到在直角坐标系中建立极坐标系，然后将极坐标方程转换为直角坐标方程，再找到交点。曲线C的极坐标方程ρcosθ = 1，意味着x + y = 1。求出M和N的直角坐标后，进一步找到中点P的坐标，最后确定直线OP的极坐标方程。
第三题讨论了曲线变换。圆x^2 + y^2 = 1上点的纵坐标变为原来的两倍，得到新曲线C。通过参数方程可以表示这种变换，即x = x1，y = 2y1。曲线C与直线l: 2x + y - 2 = 0的交点P1, P2可以通过联立方程组求得，之后找到中点，构造垂直于l的直线方程，最后将其转换为极坐标形式。
第四题涉及两种坐标系之间的转换以及两曲线的交点。直线C1和圆C2在直角坐标系中的方程被给出，通过ρ = x cosθ + y sinθ的关系，可以将它们转换为极坐标方程。直线C3的极坐标方程θ = α，与圆C2的交点M, N的极坐标可以求解出来，进而计算三角形C2MN的面积。
这些题目都展示了坐标系与参数方程在几何问题中的应用，通过转换和解方程，我们可以找到几何对象的性质，如半径、交点坐标和面积。理解和熟练运用这些知识对于解决复杂几何问题至关重要。
