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第六章多项式插值理论

一、区间 [ a , b] 上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法 )

① 对无限维函数空间的一个元素 f (x) 进行逼近，关于 f (x) 的情况仅知道一部分

(1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程 )

② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间

基函数性质 :

、线性无关

、完备的

条件、满足基本的函数已知

3

2

1

③ 选择

n

X 中的元素 )()(

~

xPxf

n

或

，在一定的约束条件下，使

)(

~

xf 良好的逼近 xf ,

即令

)(

~

xf =

nn

ccc

2211

关于

xf

在插值区间上有不大的误差（包括

一定的光滑性逼近）。

④ 良好逼近的判断

ff

~

e.g. Tchebycheff 范数， || f || = |)(|max xf

bxa

称为一致逼近。

⑤ 约束条件 : （依据对

xf

的了解来确定）

i / 插值约束

)()(

~

ii

xfxf 1

ni

i

x (a, b) 且

i

x 互不相同；

ii / 插值与光滑性混合约束

(1)、

)()(

~

ii

xfxf

1

ki

i

x

(a , b) 且

i

x

互不相同

(2)、 )()(

~

ii

xfxf 1

ki

i

x (a,b) 且互不相同

(3)、 )(

~

xf 的二阶导数存在

iii / 变分约束（以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数

满足某些控制方程）

依据 || f - f

~

||在

n

X

中为最小的条件，即确定常数

n

ccc

21

,

使

f

~

的解由下列形

式的极小化问题得到：

|| f -

0

f

~

|| = min{|| f- f

~

||： f

~

n

X }

Note：这里的 ||·|| 不局限于切比雪夫范数和 2－范数，可能是某种内积定义的范数；

这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。

iv/ 正交约束

根据

f

-

f

~

与 n 个给定基函数

)(,),(),(

21

xxx

n

的正交条件，确定常数：

i

c , 1

ni

。即

< f - f

~

,

0)()](

~

)([ dxxxfxf

i

b

a

i

1

ni

nn

SpanX ,,,

21

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