网络流建模汇总

### 网络流建模汇总 #### 最大流 最大流问题是网络流理论中最基本的概念之一，其目的是寻找从源点到汇点的最大流量。本节将通过多个实例介绍如何构建最大流模型并求解。 ##### 示例：《POJ1149 PIGS》 **题目大意** 在一个农场中有M个猪圈，每个猪圈内有若干头猪。N个顾客依次来访，每个顾客都会打开指定的一些猪圈，并从这些猪圈中购买一定数量的猪。顾客走后，所有打开的猪圈中的猪可以自由地移动到其他已打开的猪圈，然后猪圈重新关闭。目标是确定在满足所有顾客需求的情况下，能够卖出的最大数量的猪。 **建模方法** - **网络结构** - 源点到每个猪圈有一条边，边的容量为该猪圈内的猪的初始数量。 - 每个顾客节点到汇点有一条边，边的容量为其能购买的猪的最大数量。 - 对于每一轮顾客的行为，若该顾客打开了某个猪圈，则从该猪圈到该顾客节点有一条无限容量的边。 - 除最后一轮外，每轮的猪圈节点到下一轮的相应猪圈节点有一条无限容量的边，代表剩余的猪可以转移到下一轮。 - 在同一轮中，被打开的猪圈节点间两两相连，边的容量为无限，表示这些猪圈间的猪可以互相转移。 - **优化与简化** - 删除最后一轮未被打开的猪圈节点，因为它们不会对最终结果产生影响。 - 应用合并原则来减少网络规模，如合并具有相同流入或流出的节点等，从而提高求解效率。 #### 最小割 最小割问题也是网络流中的一个重要概念，它寻求从源点到汇点的最小分割，即切断源点到汇点的路径所需要的最小容量总和。 ##### 示例：《HOJ2634 How to earn more》 **题目大意** 假设有一个网络，包含一系列结点和边，其中每条边都有一定的容量。目标是在满足某些约束条件下，找出从源点到汇点的最大可能流量，并通过调整网络结构来最大化这一流量。 **建模方法** - 构建网络模型，定义源点、汇点以及中间结点。 - 通过最小割算法确定从源点到汇点的最小割集，进而计算出最大流值。 - 分析最小割集，考虑如何调整网络结构来增加最大流值。 #### 有上下界流 有上下界流是指在网络流问题中，除了考虑边的最大容量外，还增加了每条边必须满足的最小容量限制。 ##### 示例：《POJ2396 Budget》 **题目大意** 本题涉及预算分配问题，在满足预算上下限的前提下，最大化项目的整体效益。 **建模方法** - 构建一个带权网络，其中每条边不仅有最大容量限制，还有最小容量限制。 - 使用特定算法（如循环取消法等）来求解有上下界条件下的最大流问题。 #### 最小费用最大流 最小费用最大流问题是在最大流的基础上引入了成本概念，即在达到最大流的同时使得总的花费最小。 ##### 示例：《HOJ2543 Stone IV》 **题目大意** 在一个带有容量和费用的网络中，找到从源点到汇点的最大流，同时使得总费用最小。 **建模方法** - 建立网络模型，定义源点、汇点及中间结点。 - 使用算法（如Dijkstra改进算法、Bellman-Ford算法等）来解决最小费用最大流问题。 以上内容涵盖了网络流建模中的几个核心概念，包括最大流、最小割、有上下界流以及最小费用最大流。通过对这些概念的理解和应用，我们可以解决许多实际问题中的资源分配、优化等问题。