随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）是一种包含随机过程的微分方程，广泛应用于金融、物理、生物等多个领域。Split-step欧拉方法是求解此类方程的一种数值方法，尤其适用于处理带有漂移和扩散项的SDEs。在本文中，作者贾俊梅探讨了这种方法的收敛性问题。
split-step欧拉方法的基本思想是将随机微分方程的解分解为两个步骤：一是处理漂移项，二是处理扩散项。这种方法的优势在于可以分别对这两部分进行近似，从而简化计算。具体来说，对于一个一般的SDE：
\[ dX_t = b(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t)dW_t \]
其中，\( b \) 是漂移项，\( \sigma \) 是扩散项，\( W_t \) 是布朗运动，split-step欧拉方法的一步近似形式为：
1. 在时间步 \( t_n \) 到 \( t_{n+1} \)，先用欧拉方法处理漂移项：
\[ X_{t_{n+1}}^{(1)} = X_{t_n} + b(t_n, X_{t_n})(t_{n+1} - t_n) \]
2. 然后，再用欧拉方法处理扩散项：
\[ X_{t_{n+1}} = X_{t_{n+1}}^{(1)} + \sigma(t_n, X_{t_n})(W_{t_{n+1}} - W_{t_n}) \]
论文中，贾俊梅证明了在一定的假设下，如漂移项和扩散项都满足线性增长条件和李普希兹条件，split-step欧拉方法具有强收敛性。线性增长条件意味着\( b \)和\( \sigma \)的增长速度不会超过它们的输入值的线性函数，而李普希兹条件则是函数的连续性和有界性的强化版本，它保证了解的存在和唯一性。
贾俊梅进一步指出，该方法的强收敛阶为1/2，这意味着随着时间步长的减小，split-step欧拉方法解的误差会以1/2次幂的速度减少。这是数值分析中的一个重要指标，因为它告诉我们为了达到特定精度，需要多小的时间步长。
此外，作者还证明了split-step近似解的均方收敛理论，即在平均意义上，这种方法的解会越来越接近SDE的真实解。均方收敛是指在随机变量的平方意义下的收敛，对于随机过程的数值解来说，这是一个重要的性质。
参考文献中提到了其他研究，如范振成关于小噪声随机延迟微分方程欧拉方法的收敛性、陆斌和张玲关于随机延迟微分方程指数欧拉方法的收敛性、王鹏飞和殷凤关于非线性随机微分方程混合欧拉格式的收敛性，以及贾俊梅自己之前关于改进欧拉格式的研究，这些都为理解随机微分方程数值解的收敛性提供了更广阔的视角。
贾俊梅的这篇论文为求解随机微分方程的split-step欧拉方法提供了坚实的理论基础，不仅证明了其收敛性，还给出了具体的收敛阶，这对于实际应用和数值模拟具有重要指导价值。
