一类随机微分方程的欧拉格式的收敛性

在讨论一类随机微分方程的数值求解方法时，我们通常会关注欧拉格式的收敛性。随机微分方程（SDE）是一类在自然科学、工程技术、经济管理等领域有广泛应用的随机过程模型。由于这类方程的解析解很难直接得到，因此对随机微分方程的数值求解方法成为了研究的重点。欧拉方法是一种数值求解常微分方程（ODE）的基本迭代格式，将其应用于随机微分方程，就形成了随机微分方程的欧拉格式。 欧拉格式通常这样实现：对于一个标量自治随机微分方程，其形式可以表示为： \[ dx(t) = f(x(t))dt + g(x(t))dw(t) \] 其中，\( x(t) \) 是状态过程，\( f \) 是偏移函数，\( g \) 是扩散函数，\( w(t) \) 是标准维纳过程。这个方程表达了随时间变化的过程，描述了状态变量随时间演化的行为。欧拉格式在每一小时间步长 \( h \) 内应用泰勒展开式近似方程的行为： \[ x_{n+1} = x_n + h f(x_n) + h^{1/2} g(x_n) Z_n \] 其中，\( x_n \) 和 \( x_{n+1} \) 分别是在时间 \( t_n \) 和 \( t_{n+1} \) 的近似状态值，\( Z_n \) 是从标准正态分布中抽取的独立同分布随机变量。 在研究欧拉格式的收敛性时，一个关键的条件是系数 \( f \) 和 \( g \) 需要满足全局李普希兹条件。这个条件意味着存在常数 \( L \)，使得对于所有的 \( x \) 和 \( y \) 在状态空间内，有： \[ |f(x) - f(y)| \leq L|x - y| \] \[ |g(x) - g(y)| \leq L|x - y| \] 当这个条件被满足时，欧拉格式的局部收敛阶可以被证明是1，而均方强收敛阶是1/2。这里，局部收敛阶是描述迭代格式在一小步长内接近精确解的程度，而均方强收敛阶是指随着步长趋于零，数值解与精确解的均方误差趋于零的速率。 本文中作者王新在前人研究的基础上，放宽了一些限制条件，并采用不同的方法证明了在全局李普希兹条件下，欧拉格式的收敛性，并且还求出了局部收敛阶和均方强收敛阶。此外，通过构造迭代格式和利用维纳过程的性质，作者还研究了数值方法的局部截断误差和整体误差，并给出了收敛阶的具体形式。这项研究不仅在理论上进一步加深了对随机微分方程数值解法的理解，而且在实际应用中，为工程技术人员和科学家们提供了更为灵活和可靠的数值求解手段。