欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.rar_matlab欧拉法求解微分方程资源-CSDN文库

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偏微分方程

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欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.rar （6个子文件）

BK08 文档和程序

欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.pdf 665KB

Code

ODE_ImprovedEuler.m 1KB

ODE_2OrderEuler.m 1KB

ODE_ImplicitEuler.m 1KB

ODE_Euler_Solve_Test.m 5KB

ODE_ExplicitEuler.m 1KB

欧拉法(Euler)求解常微分方程的 Matlab 程序及案例

1. 概念

1) 常微分方程

自变量只有一个的微分方程，称为常微分方程；自变量数量 2 个

或以上时，称为偏微分方程。

绝大多数实际工程问题，常微分方程的自变量都是时间 t，通常

表达为：

   

 

, , , , , 0

F t y y y y





2) 一阶常微分方程

求解上述关于

 

的方程，得到

 

的表达式为：

   

 

, , , ,

y f t y y y





写成向量形式：

 

, , , ,

f t y y y













令：

 

, , , ,

f t y y y























得到向量形式的一阶常微分方程：

 

,tyyf

3) 微分方程的解析解法和数值解法

微分方程的求解方法有解析解法和数值解法，解析法是求出因变

量

关于时间 t 的具体函数式，表达为

 

tyy

；数值法是解出因变量

关于时间 t 的离散序列，通常表达为

 

( ), ( )t k ky

。

绝大多数的非线性常微分方程，不存在或难以求出解析解，大多

数情况下只能求取微分方程的数值解。

2. 算法

欧拉法(Euler)是求解一阶常微分方程初值问题的数值方法，分为

显式欧拉法、隐式欧拉法、两步欧拉法和改进欧拉法。

2.1 显式欧拉法

一阶微分方程初始问题：

 















式中，

为初始时间（已知常数），

为初始状态（已知向量），

 

,t yf

为关于时间

和状态

的函数（已知函数）。

使用一阶向前差商代替微分，即：

   

k k k k

t k t k h

   





y y y y

式中，h 为时间步长。

微分方程变为显式差分方程：

       

 

k k h t k k



  











y y y

上式是关于

 

向

 

1k y

的递推形式，可以根据初始条件按照递

推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分方

程的数值解。

2.2 隐式欧拉法

使用一阶向后差商代替微分，即

   

k k k k

t k t k h

   





y y y y

微分方程变为隐式差分方程：

       

 

k k h t k k



  











y y y

在第 k 步迭代时，

 

1 , ( )k t ky

已知，

 

为待求未知量，

   

 

,t k kyf

是关于待求未知量

 

的函数，即方程为关于

 

的非线

性方程。通过非线性方程的迭代解法（如牛顿迭代法）可求解出

 

。

依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分方程的数

值解。

2.3 两步欧拉法

使用中心差商代替微分：

   

1 1 1 1

1 1 2

k k k k

t k t k h

     



  

y y y y

微分方程变为显式差分方程：

       

 

1 1 2 ,

k k h t k k



   











y y y

上式是关于

   

1,kkyy

向

 

1k y

的递推形式，可以根据初始条件

按照递推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为

微分方程的数值解。

这里需要特别注意

 

的计算方法：按照公式计算

 

需要用到

无意义的

 

1y

，此步需要转换成显式欧拉法计算：

       

 

1 0 0 , 0















y y y

进一步分析：

       

 

     

 

   

 

1 1 2 , 1 , ,k k h t k k k h t k k h t k k



       



y y y y y yf f f

式中，

       

 

1,k k h t k ky y yf

相当于隐式欧拉法由

 

1k y

求解

 

；

       

 

1,k k t k ky y yf

相当于显式欧拉法由

 

求解

 

1k y

。两步欧拉法是隐式欧拉法与显式欧拉法相结合的一种算法。

2.4 改进欧拉法

先使用显式欧拉法求解 k+1 步的预测值：

       

 

1,k k h t k k  y y yf

再使用 k 步的微分值

   

 

,t k kyf

和 k+1 步预测的微分值

   

 

1 , 1t k kyf

的平均值来近似微分：

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k  



再利用显式欧拉法校正 k+1 步的计算值：

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k

k k h

  

  

综上所述，改进欧拉法的算法为：

       

 

   

 

   

 

, 1 , 1

k k h t k k

t k k t k k

k k h



  



  



  









y y y

上式是关于

 

向

 

1k y

的递推形式，也可以根据初始条件按照

递推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分

方程的数值解。

2.5 四种欧拉方法的对比

微分方程的数值解法，本质是使用数值积分来实现

向

的转换。

显式欧拉法和隐式欧拉法，使用的是矩形数值积分方法，矩形积分是

一阶算法，其截断误差为

 

；两步欧拉法和改进欧拉法，使用的

是梯形数值积分方法，梯形积分是二阶算法，其截断误差为

 

。

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

2h*f(t(k),y(k))

两步欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

改进欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

h*f(t(k),y(k))

显式欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

h*f(t(k+1),y(k+1))

隐式欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

   

 

1 , 1t k kyf

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k

  yyff

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