欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.rar_matlab欧拉法求解微分方程资源-CSDN文库

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欧拉法是数值分析中的一种基础方法，用于求解初值问题的一阶常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）。它以18世纪数学家欧拉的名字命名，是最早被广泛采用的数值积分方法之一。Matlab作为强大的科学计算软件，提供了多种求解常微分方程的工具，其中包括欧拉法。在Matlab中实现欧拉法通常涉及自定义函数和循环结构。"欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序"可能包含以下关键部分： 1. **自定义函数**: 这个程序可能会有一个用户定义的函数，如`eulerFun`，用于定义微分方程。例如，如果我们要解决形如`dy/dx = f(x,y)`的问题，`f(x,y)`就是欧拉法需要的函数。 2. **初始条件**: 通常包括起点`x0`，初值`y0`，以及步长`h`。这些参数决定了积分路径和精度。 3. **循环结构**: 使用`for`或`while`循环，按照欧拉公式逐步逼近解。欧拉公式为：`y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)`，其中`(x_n, y_n)`是当前的解点，`h`是步长，`f`是微分方程的函数。 4. **案例与演示**: 包中的“丰富的演示实例”可能包含了不同类型的微分方程，展示如何应用欧拉法求解，这有助于理解算法的工作原理并进行实际操作。 5. **说明文档**: 可能包括`.pdf`或`.doc`格式的文档，详细解释了程序的使用方法，欧拉法的理论背景，以及如何修改和运行程序以适应新的微分方程。 6. **Matlab Simulink**: 虽然标签中提到了Matlab Simulink，这是一个可视化建模环境，主要用于系统仿真，包括连续系统、离散系统等，但它通常不直接用于实现欧拉法。然而，Simulink可以与Matlab脚本结合，通过编写脚本来实现欧拉法，并在Simulink环境中进行可视化验证。欧拉法虽然简单，但其精度受到步长的影响，步长太大会导致误差增大，而步长太小则会增加计算量。因此，在实际应用中，我们可能需要寻找合适的步长或者使用更高级的数值方法，如改进的欧拉法（也称改进的Heun方法）或四阶龙格-库塔法，以获得更精确的结果。此外，对于高阶微分方程，需要先将其转换为一阶系统，然后再应用欧拉法。学习并掌握如何在Matlab中实现欧拉法，不仅可以加深对数值方法的理解，也是科学计算和工程应用的基础技能。通过这个压缩包，你可以亲自动手实践，从而更好地理解和运用这一经典方法。

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欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.rar （6个子文件）

BK08 文档和程序

欧拉法(Euler)求解常微分方程的Matlab程序及案例.pdf 665KB

Code

ODE_ImprovedEuler.m 1KB

ODE_2OrderEuler.m 1KB

ODE_ImplicitEuler.m 1KB

ODE_Euler_Solve_Test.m 5KB

ODE_ExplicitEuler.m 1KB

欧拉法(Euler)求解常微分方程的 Matlab 程序及案例

1. 概念

1) 常微分方程

自变量只有一个的微分方程，称为常微分方程；自变量数量 2 个

或以上时，称为偏微分方程。

绝大多数实际工程问题，常微分方程的自变量都是时间 t，通常

表达为：

   

 

, , , , , 0

F t y y y y





2) 一阶常微分方程

求解上述关于

 

的方程，得到

 

的表达式为：

   

 

, , , ,

y f t y y y





写成向量形式：

 

, , , ,

f t y y y













令：

 

, , , ,

f t y y y























得到向量形式的一阶常微分方程：

 

,tyyf

3) 微分方程的解析解法和数值解法

微分方程的求解方法有解析解法和数值解法，解析法是求出因变

量

关于时间 t 的具体函数式，表达为

 

tyy

；数值法是解出因变量

关于时间 t 的离散序列，通常表达为

 

( ), ( )t k ky

。

绝大多数的非线性常微分方程，不存在或难以求出解析解，大多

数情况下只能求取微分方程的数值解。

2. 算法

欧拉法(Euler)是求解一阶常微分方程初值问题的数值方法，分为

显式欧拉法、隐式欧拉法、两步欧拉法和改进欧拉法。

2.1 显式欧拉法

一阶微分方程初始问题：

 















式中，

为初始时间（已知常数），

为初始状态（已知向量），

 

,t yf

为关于时间

和状态

的函数（已知函数）。

使用一阶向前差商代替微分，即：

   

k k k k

t k t k h

   





y y y y

式中，h 为时间步长。

微分方程变为显式差分方程：

       

 

k k h t k k



  











y y y

上式是关于

 

向

 

1k y

的递推形式，可以根据初始条件按照递

推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分方

程的数值解。

2.2 隐式欧拉法

使用一阶向后差商代替微分，即

   

k k k k

t k t k h

   





y y y y

微分方程变为隐式差分方程：

       

 

k k h t k k



  











y y y

在第 k 步迭代时，

 

1 , ( )k t ky

已知，

 

为待求未知量，

   

 

,t k kyf

是关于待求未知量

 

的函数，即方程为关于

 

的非线

性方程。通过非线性方程的迭代解法（如牛顿迭代法）可求解出

 

。

依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分方程的数

值解。

2.3 两步欧拉法

使用中心差商代替微分：

   

1 1 1 1

1 1 2

k k k k

t k t k h

     



  

y y y y

微分方程变为显式差分方程：

       

 

1 1 2 ,

k k h t k k



   











y y y

上式是关于

   

1,kkyy

向

 

1k y

的递推形式，可以根据初始条件

按照递推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为

微分方程的数值解。

这里需要特别注意

 

的计算方法：按照公式计算

 

需要用到

无意义的

 

1y

，此步需要转换成显式欧拉法计算：

       

 

1 0 0 , 0















y y y

进一步分析：

       

 

     

 

   

 

1 1 2 , 1 , ,k k h t k k k h t k k h t k k



       



y y y y y yf f f

式中，

       

 

1,k k h t k ky y yf

相当于隐式欧拉法由

 

1k y

求解

 

；

       

 

1,k k t k ky y yf

相当于显式欧拉法由

 

求解

 

1k y

。两步欧拉法是隐式欧拉法与显式欧拉法相结合的一种算法。

2.4 改进欧拉法

先使用显式欧拉法求解 k+1 步的预测值：

       

 

1,k k h t k k  y y yf

再使用 k 步的微分值

   

 

,t k kyf

和 k+1 步预测的微分值

   

 

1 , 1t k kyf

的平均值来近似微分：

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k  



再利用显式欧拉法校正 k+1 步的计算值：

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k

k k h

  

  

综上所述，改进欧拉法的算法为：

       

 

   

 

   

 

, 1 , 1

k k h t k k

t k k t k k

k k h



  



  



  









y y y

上式是关于

 

向

 

1k y

的递推形式，也可以根据初始条件按照

递推关系依次求出

         

1 , 2 , 3 , 4 , Ny y y y y

，此离散序列即为微分

方程的数值解。

2.5 四种欧拉方法的对比

微分方程的数值解法，本质是使用数值积分来实现

向

的转换。

显式欧拉法和隐式欧拉法，使用的是矩形数值积分方法，矩形积分是

一阶算法，其截断误差为

 

；两步欧拉法和改进欧拉法，使用的

是梯形数值积分方法，梯形积分是二阶算法，其截断误差为

 

。

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

2h*f(t(k),y(k))

两步欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

改进欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

h*f(t(k),y(k))

显式欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

t(k-1) t(k) t(k+1)

f(t,y)

f(t(k-1),y(k-1))

f(t(k),y(k))

h*f(t(k+1),y(k+1))

隐式欧拉法

f(t(k+1),y(k+1))

   

 

1 , 1t k kyf

   

 

   

 

, 1 , 1

t k k t k k

  yyff

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