数据结构第7章 图习题.docx
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数据结构中的图是一种重要的抽象数据类型,用于表示实体之间的关系。在图中,顶点(或节点)代表实体,边(或弧)则表示这些实体之间的关系。本题涉及的知识点主要包括图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法、图的性质以及最小生成树的构建算法。 1. **图的度数** - 在图中,一个顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于边数的2倍,因为每条边连接两个顶点,贡献了2的度数。而在有向图中,所有顶点的入度之和等于出度之和。 2. **最小生成树** - 无向连通图的最小生成树是包含所有顶点且边数最少的树形子图,它没有环。在一个无向连通图中,最小生成树唯一。 3. **图的边数** - 一个有n个顶点的无向图最多可以有n(n-1)/2条边,这是完全图的情况。具有4个顶点的无向完全图有6条边,具有6个顶点的无向图至少需要5条边来确保连通。 4. **邻接矩阵和邻接表** - 邻接矩阵是二维数组,用于表示图中顶点之间的邻接关系,大小为n×n。对于无向图,邻接矩阵是对称的,如果A[i][j] = 1,则A[j][i]也等于1。邻接表是链表的集合,每个链表代表一个顶点的所有邻接顶点,它在空间效率上优于邻接矩阵。 5. **图的遍历** - 深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)是两种常用的图遍历方法。DFS从一个顶点开始,沿着边尽可能深地探索,而BFS则是从根节点开始,一层一层地访问所有相邻节点。例如,对于图7.1,DFS和BFS可能会得到不同的顶点序列。 6. **图的存储结构** - 题目中的图7.2展示了有向图的邻接表存储结构,每个顶点都有一个链表,链表中的节点代表指向其他顶点的边。 7. **图的性质** - 无环有向图的深度优先遍历可以按照顶点的后进先出(LIFO)顺序进行,而逆邻接表用于表示每个顶点的出边,对于入度为k1、出度为k2的顶点,在邻接表中对应的结点数为k2,在逆邻接表中为k1。 8. **最短路径** - Dijkstra方法用于求解单源最短路径问题,而拓扑排序是针对有向无环图(DAG)的操作,找出节点的线性顺序,使得对任何边(u, v),节点u都出现在节点v之前。 9. **连通分量** - 一个无向连通图的连通分量个数为1,因为整个图本身就是连通的。对于有n个顶点的无向图,至少需要n-1条边才能连通所有顶点。 10. **时间复杂度** - BFS遍历图的时间复杂度通常为O(V+E),其中V是顶点数,E是边数,因为每个节点和边都需要被访问一次。DFS的时间复杂度也是O(V+E),但它们在数据结构上的差异在于邻接表表示法是不唯一的,而邻接矩阵表示法是固定的。 11. **图的运算** - 计算顶点的入度可以通过邻接矩阵的行和或邻接表的长度实现,删除从某个顶点出发的边可以通过修改邻接矩阵的特定元素或邻接表的结构完成。 12. **强连通分量** - 强连通图是每个顶点都可以到达其他所有顶点的有向图,强连通分量是强连通图的子图。 综合题目涉及的具体图,如图7.5、7.6、7.7和7.8,需要分析每个图的边关系,计算顶点的度,构造邻接矩阵、邻接表和逆邻接表,识别强连通分量,以及找出最小生成树。此外,图7.9涉及最短路径问题,可能需要应用Dijkstra算法或其他最短路径算法。 最小生成树的构造算法,如克鲁斯卡尔(Kruskal's)算法和普里姆(Prim's)算法,分别通过贪心策略和贪婪迭代来找到最小生成树,对于给定的图,需要逐步添加边并检查是否形成环,直到所有顶点都被包含在内。
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