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实践教学
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计算机与通信学院
2005 年春季学期
数值计算课程设计
题 目： 李查逊外推法与龙贝格法浅析
专业班级：
姓 名：
学 号：
指导教师：
成 绩：
目录
摘要---------------------------------------------------------------------------------2
一 引言----------------------------------------------------------------------------3
二 数学原理----------------------------------------------------------------------4
2.1 复化梯形公式与龙贝格公式------------------------------------------4
2.2 李查逊外推加速法-------------------------------------------------------5
2.3 龙贝格积分法理论-------------------------------------------------------6
三 算法设计-----------------------------------------------------------------------7
3.1 程序编制-------------------------------------------------------------------7
3.2 程序分析-----------------------------------------------------------------10
四 软件设计---------------------------------------------------------------------11
五 应用实例---------------------------------------------------------------------14
总结--------------------------------------------------------------------------------16
参考文献--------------------------------------------------------------------------17
致谢--------------------------------------------------------------------------------18
摘要
在微积分里,按照 Newton-Leibniz 公式计算积分 I(f)时,要求被积函数 f(x)有
解析表达式,同时 f(x)为初等函数,而当这两个条件不满足时,我们很难处理这类函
数.但是在数值积分计算中,我们通过特殊的函数来逼近 f(x),使得用特殊函数(一
般是多项式函数)的积分来近似代替原函数的积分,为了减小误差,我们采用事后
误差分析法,误差补偿的方法得到更好的结果.本文通过分析积分运算的困难介绍
李查逊外推加速法,并且着重从误差的角度分析李查逊外推加速法的优劣，并基
于此介绍了一种常见的求积方法龙贝格积分法。
关键词：数值积分 李查逊外推加速法 龙贝格积分法
一 引言
基于积分理论的现状，本文通过循序渐进的方法逐步分析，由常见的梯形
公式到复化的梯形公式、龙贝格公式，并且另外介绍了李查逊外推加速方法，
在此基础上将两者结合起来，给出一个常见的求积分的方法龙贝格积分法。每
一步的介绍都力求详细。而且给出了通常情况下的龙贝格积分法的推倒算法，
同时也分析为何对于此类困难的积分问题给出好的方法后，不运用相应的数学
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软件而要运用编程的手段来求解。并尽可能的给出一些恰当的运用此文介绍的
和新方法编制简单的程序解决相应的问题。最后给出两个实例初步说明运用由
李查逊外推加速方法导出的龙贝格积分法的求解问题的过程。
二 数学原理
2.1 复化梯形公式与龙贝格公式
外推法是一种用精度较低的近似公式组合成精度较高的近似公式方法.
积分中值定理告诉我们,在积分区间[a,b]内存在一点 ,成立
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=(b-a)f( ),问题在于点 的具体位置一般是不知道的,因而难以准确算出 f(
)的值.我们将 f( )称为区间[a,b]上的平均高度.这样，只要对平均高度 f( )提
供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.如果我们用两端点的“高度”f(a)
与 f(b)取算术平均作为平均高度 f( )的近似值,这样导出的求积公式 T=(b-a)
[f(a)+f(b)]/2 …… (1.1) 便是梯形公式.
此时误差为 , 如果(b-a)的绝对值很大,那
么我们得到的数据是很不精确的,于是我们考虑将[a,b]等分为几个小区间,在每
个小区间上我们应用梯形公式 (复化梯形公式),于是我们得到复化梯形公式
, 这 时 得 到 的 误 差 为
,这种方法对提高精度是有效的,但是在使用求积公
式时必须给出合适的步长,步长太大不满足精度要求,太小又会导致计算量的增加,
而事先给出一个恰当的步长又往往是很困难的.实际计算中我们常常采用变步长
的方法，将步长逐渐分半后,然后反复利用复化求积公式进行计算,直至达到所需
的精度要求.
记 二 分 之 前 复 化 梯 形 法 求 得 , 二 分 后 求 得 为 , 则 由
,其中 H=h/2,于是有近似值 的误差约等于 ,
如 果 用 这 个 误 差 值 作 为 的 一 种 补 偿 , 所 得 到 的
事实上,这个更好的结果通过运算即是 Simpson 公式得到的积分值 S .
同理对于 Simpson 法求积,由 ,其中 C 为常数.于是得到柯特
斯求积公式
C =(16S -S )/15. 重 复 以 上 做 法 , 可 进 一 步 得 到 龙 贝 格 公 式 R
,于是运用变步长的加工过程,得到了精度较高的龙贝格公式.
这种通过不断区间分半再进行误差补偿得到更加精确的过程称为加速.
事实上,这种加速过程只要 f(x)任意阶可导,即可继续进行下去,以便达到精
度要求.
2.2 李查逊外推加速法
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