数的个数为 (a1+1)(a2+1)...(al+1)。这是因为对于每一个素因子pi，我们有ai+1种选择，可以选择0次（即不包含这个素因子），1次，直到ai次。将这些选择方式相乘，我们就得到了所有可能的正整数的个数。
组合数学是数学的一个分支，主要研究如何有效地计算在有限集合中对象的组合排列。在本资料中，我们看到了几个关于组合数学的经典问题和证明：
1. 第一个问题证明了正整数n可以唯一地表示为不同正整数的和，其中每个数不超过它前面的数。这通过归纳法得到了证明，首先验证基础情况，然后通过归纳假设证明对于所有小于n的数也成立，最后证明表示的唯一性。
2. 第二个问题展示了组合数的性质，即nC(n-1,r)等于(r+1)C(n,r+1)，这个性质可以通过直观的球与箱子模型得到解释，也可以通过数学归纳或直接计算来证明。
3. 第三个问题通过求导和代入x=1证明了一个组合恒等式。这显示了微积分在处理组合问题中的应用。
4. 第四个问题探讨了从n个不同的整数中选择两组数，使得第一组的最小数大于第二组的最大数的方案数。这个问题可以通过组合计数解决，即先确定两组总数，然后选择较大的一组，再分配其余的数。
5. 第五个问题涉及到六个引擎的排列，要求点火顺序交错。这是一个排列问题，通过分步计数法解决了。
6. 第六个问题计算了从1到1000000的整数中数字0出现的次数。这涉及到位数分析和排除法。
7. 第七个问题研究了男女相间排列以及围坐圆桌的情况。前者是排列问题，后者则需要考虑圆排列的规则。
8. 第八个问题证明了一种放置球进盒子的方法数，这是典型的组合问题，利用了组合定理简化了问题。
9. 最后一个问题讨论了能整除给定整数n的正整数的数目，这涉及到素数分解和指数的乘法规则。
这些问题展示了组合数学在解决实际问题中的应用，包括计数、归纳证明、排列组合、概率模型和数学归纳等方法。理解和掌握这些基本概念和技巧是深入学习组合数学的关键。
