组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页.pdf_组合数学第四版答案资源-CSDN文库

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组合数学

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1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|  5；

解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5 或者 a-b=-5，



由列举法得出，当 a-b=

5 时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有 45 对。

当 a-b=-5 时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有 45 对。

所以这样的序列有 90 对。

（2）：由题意知，|a-b|

 5 |a-b|=1 或|a-b|=2 或|a-b|=3 或|a-b|=4 或|a-b|=5 或|a-b|=0； 

由上题知当|a

-b|=5 时有 90 对序列。

当|a-b|=1 时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有 49*2=98 对。

当此类推当|a-b|=2，序列有 48*2=96 对，当|a-b|=3 时，序列有 47*2=94 对，当|a-b|=4 时，序列有 46*2=92 对，

当|a-b|=0 时有 50 对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2 题 5个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排

列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？

解：（a）可

将 5 个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，

（b）用 x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8 个空缺，

Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

在其中任取 5 个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！

（c）先取两个男生和 3 个女生做排列，情况如下：

6. 若 A，B 之间存在 0 个男生， A，B 之间共有 3 个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2

1．若 A，B 之间存在 1 个男生， A，B 之间共有 4 个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2

2．若 A，B 之间存在 2 个男生，A，B 之间共有 5 个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2

3．若 A，B 之间存在 3 个男生，A，B 之间共有 6 个人

，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2

4．若 A，B 之间存在 4 个男生，A，B 之间共有 7 个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2

5．若 A，B 之间存在 5 个男生，A，B 之间共有 8 个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2

所以总的排列数为上述 6 种情况之和。

1.3 题 m个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n 都是正整数，若

(a)男生不相邻 ; (b)n 个女生形成

一个整体； (c)男生 A 和女生 B 排在一起； )1(  nm

分别讨论

有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n 个女生先排成一排，形成 n+1 个空。因为

1 nm 正好 m 个男生可以插在 n+1 个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为

1



(b) n 个女生

形成一个整体有 n！种可能，把它看作一个整体和 m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

因此，共有种可能。

)!1(!  mn

(c)男生 A 和女生 B 排在

一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有 2！种可能，

A、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！

(这里实际上是 m+n-2 个学生和 AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为

)!1(!2  nm

1.4 题 26个英文字母进行排列，求 x 和 y 之间有 5 个字母的排列数

解：C（24，5）*13！

1.5 题求 3000 到 8000 之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

解：根据题意，千位可以从 3，4，5，7，6 中选取，个位可以从 1，3，5，7，9 中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232

1.6 题计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！

解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！

n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!

所以 1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１

1.7 题试证

：被 2

除尽。 )2()2)(1( nnn 

证明：因

!)!12(!2)!2(  nnn

!)!12(

)!2(

)2()2)(1(!

)2()2)(1(









nnnnnnn

nnn



因为(2n-1)!!是整数所以能被 2

除尽。 )2()2)(1( nnn 

创创大帝

1．8 题求和的公因数数目。

解：因为

1030404040

5*5*25*210 

3040

302040306030

5*2*25*220 

它们最大公因子为转化为求最

大公因子能除尽的整数个数，能除尽它的整数是

5*2

300,400,5*2  ba

根据乘法法则，能除尽它的数个数为

41*31=1271

1.9 题试证的正除数的数目是奇数。

证明：设有 , 则一定有表达式

0,annbn 

nab 

，

则可知符合范围的

和必成对出现，所以为偶数。

又当 a=b=n 时，表达式 =a

b 仍然成立。所以的正除数的数目是“偶数 ”为奇数。

1

1.1

0 题证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:

,0≤a

≤i,i＝1,2,…。

证：对 n 用归纳法。

先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。

假设对小于 n 的非负整数，命题成立。

对于 n,设 k!≤n＜(k+1)!,即 0≤n-k!＜k·k!

由假设对 n-k!,命题成立，设

，其中 a

≤k-1, ，命题成立。

再证表示的唯一性：设

, 不妨设 a

＞b

,令 j=max{i|a

≠b

}

·j!+a

j-1

·(j-1)!+…+a

·1! =b

·j!+b

j-1

·(j-1)!+…+b

·1!,

  

 !)(!!!!)(!)( iabiabiijiabjba

iiiiiijj

矛盾，命题成立。

1.11 题证明 nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.

证：

(1)! (1)! (1)!

(1,) (1)(,1

! ( 1)! ( 1) ! ( 1)! ( 1)! ( 1)!

nrnrn

nC n r n r C n r

rnr r rnr r nr

)

  

    

  

所以左边等于右边

组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出 1 个，再从余下的 n-1 个中取 r 个；

等式右边：n 个不同球中任意取出 r+1 个，并指定其中任意一个为第一个。

所以两种方案数相同。

1.12 题证明等式：

2),(







nknkC

证明：



110

111

(1,0) (1,1) (1, 1) 2

nnn

kks

nnn

n n n nCn Cn Cn n n

kk s







  



  



  



L等式左边右

边

1.13 题有 N 个不同的整数，从中间取出两组来，要求第 1 组的最小数大于另一组的最大数。

解题思路：（取法由大到小）

第 1 步：从 N 个数由大到小取一个数做为第一组，其它 N-1 个数为第二组，

组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}

第 2 步：从 N 个数由大到小取两个数做为第一组，其它 N-2 个数为第二组，

组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)}

…

第 n-2 步：从 N 个数由大到小取 n-2 个数做为第一组，其它 2 个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)}

第 n-1 步：从 N 个数由大到小取 n-1 个数做为第一组，其它 1 个数为第二组，组合数为：c（n,n-1）*{c(1,1}

总的组合数为：

( ,1) { ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 1)} ( , 2) { ( 2, 1) ( 2, 2) ( 2, 2)}

(, 2){ (2,1) (, 1) (1,1)}

Cn Cn Cn Cn n Cn Cn Cn Cn n

Cnn C Cnn C

   

   





创创大帝

1.14 题 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？

解：第 1 步从特定引擎对面的 3 个中取 1 个有 C(3,1)种取法，

第 2 步从特定引擎一边的 2 个中取 1 个有 C(2,1)种取法，

第 3 步从特定引擎对面的 2 个中取 1 个有 C(2,1)中取法，剩下的每边 1 个取法固定。

所以共有 C(3,1)•C(2,1)•C(2,1)=12 种方案。

1.15 题求 1 至 1000000 中 0 出现的次数。

解：当第一位为 0 时，后面 6 位组成的数可以从 1-100000，共 100000 个 0；

当第二位为 0 时，当第一位取 0-9 时，后面 5 位可以取 1-9999，此外当第一位取 0 时，后面 5 位还可以取为

10000，这样共有 9999*10+1=99991 个 0；

同理第三位为 0 时，共有 99901 个 0；第四位为 0 时，共有 99001 个 0；第五位为 0 时，共有 90001 个 0；

第六位为 0 时，只有 1 个 0；

这样总共的 0 数为：1

00000+99991+99901+99001+90001+1=488895。

1.16 题 n个相同的球放到 r 个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。

解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用 r-1 个“|”把 n 个“O”分成 r 份，要求是每份至少有一个球。

如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|000000……

对于第一个分界线，它有 n-1 种选择，对于第二个分界线只有 n-2 个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们

之间就没有了球，这不合要求)，依次第 r-1 个分界线只有 n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,

所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。

1.18 题 8个盒子排成一列，5 个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？

解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有 8 种。而不同标志的球的排列有。所以共有 8*

5！种排列。

p

8 种排列如下

两类。因为要求空盒不相邻，途中 1 代表球

a) 1 1 1 1

b) 1 1 1 1

在 a)中剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有 8 种

1.17 题和

都是正整数，而且 n

 ，试证下列等式：

1 1

111

1111

() () ( 1) () ,

() () ! ( )

nn n n n n

rr r r r r

nnn n nn r

rrr r rr r

an b nr c r

dr err

pp p p p p

ppp p pp p

 











   L

n

解：(a)

nn 











)!(

)!1(

等式成立。

(b)

rnrn 











)!(

)!1(

)1()1(

等式成立。

(c)



















)!(

)!1(

等式成立。

(d)

! ! !( 1) ! ( 1) ! ! ! ( 1) !

( ) ! ( 1) ! ( 1) ! ( 1) ! ( 1) ! ( 1 ) !

nn n

rr r

nnnnr nnnrrnn

rr r

nr nr nr nr nr n r





 

      



(e)利用(d)的结论可证明本题。

11 1 1 1 1

12 1

111 1

11 2 1

11 11

!( )

nn r rn n r

rr r rr r r

rr r r n n

rr r r r r

rrr nn

rrr rr

rr r r r

rrr rr

rr rr

pp p pp p p

pp p p p p

ppp ppp



    

 

 



  

 



    

    



1.19 题 n+m位由 m 个 0，n 个 1 组成的符号串，其中 n≤m+1,试问不存在两个 1 相邻的符号串的数目。

解：m 个 0 进行排列，留出 m+1 个空挡，任选 n 个空挡放 1，共有 C(m+1,n)种方案.

1.21 题一个盒子里有 7 个无区别的白球，5 个无区别的黑球，每次从中随机取走一个球，已知前面取走 6 个，其中 3

个是白的，试问取第 6 个球是白球的概率。

解：C（6,2）*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)C(6,3)=3/14

创创大帝

1.20 题甲单位有 10 个男同志，4 个女同志，乙单位有 15 个男同志，10 个女同志，由他们产生一个 7 人的代表团，

要求其中甲单位占 4 人，而且 7 人中男同志占 5 人，试问有多少中方案？

解：1.甲单位出 4 个男同志，乙单位出 1 个男同志，从乙单位出 2 个女同志 C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)=141750

2. .甲单位出 3 个男同志，乙单位出 2 个男同志，从甲单位出 1 个女同志,从乙单位出 1 个女同志。

C(10,3)*C(15,2)*C(4.1)*C(10,1)=504000

3. .甲单位出 2 个男同志，乙单位出 3 个男同志，从甲单位出 2 个女同志. C(10,2)*C(15,3)*C(4,2)=122850

1+2+3 即为所求，总的方案数为 768600

A B

1.2

2 题求图 1-22 中从 O 到 P 的路经数:

(a) 路径必须经过 A 点; (b) 路径必须过道路 AB;

解: (a)分两步走 O(0,0)→A(3,2) A(3,2)→P(8,5)，根据乘法法则:

560



































(b)分两步走 O(0,0)→A(3,2), B(4,2)→P(8,5)，根据乘法法则:

350

































N

(c)分三步走: O

(0,0)→A(3,2), A(3,2)→C(6,3), C(6,3)→P(8,5), 根据乘法法则:

240

















































N

（d）AB 封锁路径数加必经 AB 路径数即 O(0,0)→P(8,5)的所有路径数有加法法则可得：

9373501287

















































N

1.2

3 题令 s={1,2,…,n+1},n≥2,T={(x,y,z)|x,y,z∈s, x<z, y<z}, 试证 :

|| 2



 



 







证明：要确定 x,y,z 的取值，有两种方法，

(1)可先确定 z,由题意可得当 z=2 时，x 可取 1，y 可取 1，根据乘法法则，x,y 取值共有 1×1=1

种可能；

当 z=3 时，x 可取 1,2，y 可取 1,2，根据乘法法则，x,y 取值共有 2×2=2

种可能；

当 z=4 时，x 可取 1,2,3，y 可取 1,2,3,根据乘法法则，x,y 取值共有 3×3=3

种可能；

……

当 z=n+1 时，x 可取 1,2,…,n,y 可取 1,2,…,n,根据乘法法则，x,y 取值共有 n×n=n

种可能。

根据加法法则，当 z 取 2,3,…,n+1 时，x,y 取值共有

22 2







…

种可能。故





。

(2)由 x<z, y<z，可以分为三种情况：

①x=y<z,x,y 可看作一个元素，这种情况等价于从 1,2,…,n+1 中取 2 个进行组合，然后比较大小，小者为 x(y),大者

为 z,其组合数为；

n 







②x<y<z,等价于从 1,2,…,n+1 中取 3 个进行组合，然后比较大小可得 x,y,z,其组合数为；

n 







③y<x

<z,等价于从 1,2,…,n+1 中取 3 个进行组合，然后比较大小可得 x,y,z,其组合数为。

n 







所以满足题意的 x,y

,z 的组合数为 + +

n 







n 







n 







＝

nn 















。

创创大帝

由于这两种方法是等价的，故可得

|| 2



 



 









。证毕。

1.24 题 A={(a, b)|a, b∈Z, 0≤a≤9,0≤b≤5} (a) 求 x-y 平面上以 A 作顶点的长方形的数目.

(b) 求 x-y 平面上以 A 作顶点的正方形数目.

解(a)：如图(a)，从图中可以看出，对于 x-y 平面上满足题意的任一顶点 A(a,b),除它本身以外，横坐标取值有 9 种

可能，纵坐标取值有 5 种可能。顶点 A(a,b)与和它不在同一水平线或垂直线上的任一点(x,y)均可构成一个长方形。故满

足要求的长方形的数目为 9×5=45 个。

解(b)：如下图(b)，网格左边是 b 的取值，下面是 a 的取值。网格里是 x-y 平面上对应每个顶点 A(a,b)所得的正方

形的数目。

1.26 题 S={1,2,……，1000}，a,b∈S,使 ab≡0 mod 5,求数偶{a,b}的数目

解：根据题意，ab 可以整除 5，2*C（200，1）*1000=400000

1.25 题平面上有 15 个点 P

。。。Ｐ

，其中 P

共线，此外不存在 3 点共线的。

(1)求至少过 15 个点中两点的直线的数目 (2)求由 15 个点中 3 点组成的三角形的数目

解：1)由题意知：P

共线，此外不存在 3 点共线的，所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为：

5*10=50。另外十个点两两相连得直线数目为：C

=45

又因为 P

共线，所以可算作一条至少 2 点相连的直线

所以至少过 15 个点中两点的直线的数目=50+45+1=96

2)有三种情况 a：没有 P

这五个点的三角个数：C

=120

b：有这五个点的其中一个点：5*C

225 c：有着五个点的两个点：10*C

=100

由 15 个点中 3 点组成的三角形的数目=425

故数目为 C(15,2)-C(5,2)+1

(b) C(5,0)C(10,3)+C(5,1)C(10,2)+C(5,2)C(10,1)

1.27 题 6位男宾，5 位女宾围一圆桌而坐，（1）女宾不相邻有多少种方案？（2）所有女宾在一起有多少种方案？（3）

一女宾 A 和两位男宾相邻又有多少种方案？

解：（1）若 5 位女宾不相邻，先考虑 6 位男宾围圆桌而做的方案数，然后女宾插入 Q（6，6）*6*5*4*3*2=86400

（2）把 5 位女宾看成一个整体，然后插入 Q（6，6）*6*P(5,5)=86400

（3）C（5，1）*C（6，2）*Q（8，8）=194000

C(5,1)*C(6,2)*C(5,2)*P(4,2)*7！

1.28 题 k和 n 都是正整数，kn 位来宾围着 k 张圆桌而坐，试求其方案数。

解：若每个圆桌的的人数相等，则每个桌子有 n 个人。因为圆周排列的个数为

因此本题的结果为

nnn

kn )!()!(



 

。

1.29 题从 n 个对象中取个 r 做圆排列，求其方案数目。1<=r<=n

解：c(n,r)*Q（r,r） =c(n,r)*(r-1)!

1.31 题试证任意 r 个相邻数的连乘：

被 r！除尽.

)( 2)(nn nr  )

证明：由 P（n ,r）=

n*(n-1)…（n-r+1）可知：（n+1）（n+2）…（n+r）= p（n+r,r）=c（n+r,r）* r!

所以 [（n+1）（n+2）…（n+r）]/r!= p（n+r,r）/ r! = c（n+r,r）

故任意个相邻数连乘可被 r！除尽。

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