### 卢开澄《组合数学》第四版课后答案解析
#### 1.1 题目解析
题目要求从集合\(\{1, 2, \ldots, 50\}\)中找到两个数\(a\)和\(b\)，使得它们之间的差的绝对值满足两种情况：\(1)\ |a - b| = 5\)；\(2)\ |a - b| \leq 5\)。
**解析：**
1. **情况一**：当\( |a - b| = 5 \)时，这意味着\(a\)和\(b\)之间的差为5或-5。对于每一种情况，我们可以通过列举来找出所有可能的数对。
- 当\(a - b = 5\)时，数对为\((6, 1), (7, 2), \ldots, (50, 45)\)，共45对。
- 当\(a - b = -5\)时，数对为\((1, 6), (2, 7), \ldots, (45, 50)\)，也是45对。
- 因此，总共存在\(45 + 45 = 90\)对。
2. **情况二**：当\( |a - b| \leq 5 \)时，这包括了\( |a - b| = 5, 4, 3, 2, 1, 0 \)的所有情况。
- 当\( |a - b| = 5 \)时，根据前面的分析，有90对。
- 当\( |a - b| = 1 \)时，如\((1, 2), (2, 1), \ldots, (49, 50), (50, 49)\)，共有\(49 \times 2 = 98\)对。
- 当\( |a - b| = 2 \)时，如\((1, 3), (3, 1), \ldots, (48, 50), (50, 48)\)，共有\(48 \times 2 = 96\)对。
- 当\( |a - b| = 3 \)时，如\((1, 4), (4, 1), \ldots, (47, 50), (50, 47)\)，共有\(47 \times 2 = 94\)对。
- 当\( |a - b| = 4 \)时，如\((1, 5), (5, 1), \ldots, (46, 50), (50, 46)\)，共有\(46 \times 2 = 92\)对。
- 当\( |a - b| = 0 \)时，即\(a = b\)的情况，共有50对。
- 因此，总共有\(90 + 98 + 96 + 94 + 92 + 50 = 520\)对。
#### 1.2 题目解析
题目要求分析5个女生与7个男生的不同排列方式，具体包括以下几种情况：
1. **女生在一起的排列方式**：
- 可以将5个女生视为一个整体，与7个男生一起排列，共有\(8!\)种排列方式。同时，5个女生内部也可以互换位置，共有\(5!\)种排列方式。因此，女生在一起的排列总数为\(8! \times 5!\)。
2. **女生两两不相邻的排列方式**：
- 先将7个男生排列，形成8个空隙，从中选择5个空隙放入女生，可以采用组合的方式，即\(C(8, 5)\)种方式。之后，7个男生的排列方式有\(7!\)种，5个女生内部可以互换位置，共有\(5!\)种排列方式。因此，女生两两不相邻的排列总数为\(C(8, 5) \times 7! \times 5!\)。
3. **两男生A和B之间正好有3个女生的排列方式**：
- 分析了不同情况下A和B之间男生的数量对排列数的影响。设男生数量为\(x\)，其中\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)，每种情况下的排列数分别为\(P_x\)。
- \(P_0 = C(5, 3) \times 3! \times 8! \times 2\)。
- \(P_1 = C(5, 1) \times C(5, 3) \times 4! \times 7! \times 2\)。
- \(P_2 = C(5, 2) \times C(5, 3) \times 5! \times 6! \times 2\)。
- \(P_3 = C(5, 3) \times C(5, 3) \times 6! \times 5! \times 2\)。
- \(P_4 = C(5, 4) \times C(5, 3) \times 7! \times 4! \times 2\)。
- \(P_5 = C(5, 5) \times C(5, 3) \times 8! \times 3! \times 2\)。
- 总的排列数为以上所有情况的和。
#### 1.3 题目解析
题目要求分析\(m\)个男生和\(n\)个女生的不同排列方式，具体包括以下几种情况：
1. **男生不相邻的排列方式**：
- 假设男生不相邻，可以利用插空的方法。先将\(n\)个女生排列，形成\(n + 1\)个空隙。由于条件为\(m + 1 \leq n\)，因此恰好可以让\(m\)个男生插入这些空隙中，形成不相邻的关系。男生插入的方式有\(C(n + 1, m)\)种，女生内部排列方式有\(n!\)种，因此男生不相邻的排列总数为\(C(n + 1, m) \times n!\)。
2. **女生形成一个整体的排列方式**：
- 将\(n\)个女生视为一个整体，共有\(n!\)种排列方式。这个整体与\(m\)个男生一起排列，共有\((m + 1)!\)种排列方式。因此，女生形成一个整体的排列总数为\(n! \times (m + 1)!\)。
3. **男生A和女生B排在一起的排列方式**：
- 男生A和女生B排在一起可以看作是一个整体，内部排列方式有\(2!\)种。整个群体的排列方式共有\((m + n - 1)!\)种，因此男生A和女生B排在一起的排列总数为\(2! \times (m + n - 1)!\)。
#### 1.4 题目解析
题目要求求出26个英文字母进行排列，其中字母X和Y之间恰好有5个字母的排列数。
**解析：**
首先从剩下的24个字母中选择5个字母填入X和Y之间，选择方式有\(C(24, 5)\)种。接着，X和Y以及中间的5个字母作为一个整体与其他13个字母排列，共有\(13!\)种排列方式。因此，满足条件的排列总数为\(C(24, 5) \times 13!\)。
#### 1.5 题目解析
题目要求求出3000至8000之间无重复数字的奇数数量。
**解析：**
根据题目的条件，千位上的数字只能是3、4、5、6、7中的一个，个位上的数字只能是1、3、5、7、9中的一个。剩余的百位和十位数字可以在剩下的8个数字中选择，且不能重复。因此，总共有\(2 \times 5 \times 8 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 \times 7 = 1232\)个符合条件的奇数。
#### 1.6 题目解析
题目要求计算\(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n!\)的值。
**解析：**
根据题目给出的规律，可以发现这是一个递推关系式。利用归纳法可以证明：
- 对于任意的\(k\)，有\(k \cdot k! + (k - 1) \cdot (k - 1)! + \cdots + 1 \cdot 1! + 1 = (k + 1)!\)。
- 因此，当\(k = n\)时，有\(n \cdot n! + (n - 1) \cdot (n - 1)! + \cdots + 1 \cdot 1! + 1 = (n + 1)!\)。
- 故\(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\)。
#### 1.7 题目解析
题目要求证明\(\frac{(2n)!}{(2^n) \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1))}\)可以被\(2^n\)整除。
**证明：**
根据组合数的性质，我们可以将分子分解为：
\[
\frac{(2n)!}{(2^n) \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1))} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!}
\]
其中\((2n - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)\)。接下来，我们利用组合数的公式来简化表达式：
\[
\frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot (2n - 1)!!}
\]
由于\((2n - 1)!!\)是奇数的乘积，不会与分母中的\(2^n\)产生约简，因此整个表达式可以被\(2^n\)整除。证毕。
