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概率论与数理统计 要点汇总 2020 2版.docx
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概率论与数理统计 要点汇总(经管类)04183 (2018 年版教材)
前置学习类容
见教材(P56)
0.1 古典概型
0.1.1 两个基本原理
加法原理 m+n(有 k 种方法均能完成某事):
设某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种
方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理 m×n(需要 k 个步骤完成这某事):
设某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种
方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
0.1.2 组合
n
n
0
,
m
m
从 m 个不同元素中任取 n 个元素组成一组,组合不考虑元素顺序,取出不放回。
m!
n
(m - n)!
m
从 m 个不同元素中任取 n 个元素排成一列,排列考虑元素排列顺序,取出不放回。
从教材第二章开始涉及高数(一)中导数、原函数和不定积分、二重积分的知识,需前
置学习。(基本公式见最后附表)
0.4 三角函数
三角函数图像和简单性质
以下* /红线是重点公式
包含关系
相等关系
和事件
A
B且B A
事件 A 或 B 至少有一个发生
事件 A与 B同时发生
积事件
差事件
A
B
事件 A 发生而 B 不发生
1
A B AB A AB, A B A
互不相容
对立事件
事件 A、B 不能同时发生
“A 不发生”这一事件称为 A 的逆事件
A
运算关系
交换律:
A
� B B � A, A� B B � A
� (B � C) (A� B)� C A� (B � C) (A� B)� C
结合律:A
分配律:A
对偶律:A
,
,
� B A � B AB A � B
,
1.3 知识点延伸,P36
1.4 古典概型 p41
例 4/5/6 需要理解记忆
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数 P(A),若满足下列三个条
A
A
i
i
3° 对于两两互不相容的事件A , A ,…有
1
2
性质 2:对于任意 A,B 有 P(A
� B) P(A) P(B) P(AB)
如果 A,B 互不相容,则有P(A
� B) P(A) P(B)
注意,互不相容与相互独
立是有区别的,对比 p49 例 30.
可推广,对任意 A,B,C 有
P(A� B � C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
性质 3:
P(A
B) P(A) P(AB) P(AB)
当
B
A
时,
P(A B) P(A) P(B)
性质 4:P(A)
1 P(A)
1.6 条件概率 p43
定义:事件 A 已发生的条件下,事件 B 发生的概率,称为 B 的条件概率,记为 P(B|A)
P(A)P(B A)
P(AB)
P(A)
2
P(ABC)
P44,例 18 因为B
A,所以AB B
1.7 全概率公式
定义 3,要注意理解
求果 p(B), p45
全概率公式:
P(B)
P(A )P(B A ) P(A )P(B A ) ... P(A )P(B A )
1
1
2
2
n
n
P(A)P(B A) P(A)P(B A)
①
②❊
简单的理解:全概率公式就是在众多原因A , A , A ... 可能下发生事件 B,求 B 的概率。
3
1
2
可以配合例 24、25 理解。
=
i
❊
求因P(A B) ,p46
i
i
理解:贝叶斯公式就是特定 原因下发生事件 B,求 B 的概率。配合例 28/29 理解。
A
i
可以显见全概率公式和贝叶斯公式都是建立在条件概率的基础上,只要记住推导过程就
很方便记忆和运用。把哪个事件当做 A 或 B 建立在你对公式的理解上。
定义 4:若P(AB)
P(A)P(B)
,则称 A 与 B 相互独立。
P(B) P(B A) P(B) 0,
则称 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 。
同理。(贝叶斯公式变形)
定义 5 :若, P(AB) = P(A)P(B) ; P(BC) = P(B)P(C) ; P(CA) = P(C)P(A) ,且
P(ABC) = P(A)P(B)P(C) .则 A、B、C 相互独立。
定义 6:P(AB) = P(A)P(B) ,P(BC) = P(B)P(C) ,P(CA) = P(C)P(A)称 A、B、C 两
两独立,A、B、C 相互独立必有两两独立,反之不必然。
定义 7:对于 n 个情况可推,p50
例 33:P(A
� B � C) 1 P(A� B � C)
,运算更简单。P50
1.10 伯努利概型
1.每次试验只有两种可能结果,发生或不发生;
3
2.次试验是重复进行的,即发生的概率每次均一样;
3.每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
用 P 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 不发生的概率为 1-P,在 n 次独立重复试验中,
事件 A 正好发生 k 次的概率为:
P(k) C p(1- p) ,k 1,2,...,n
k k
n
n-k
n
第二章 随机变量及概率分布
2.1 定义
离散型随机变量, 若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值,则称 X 为离散型
p59
随机变量。对于 X 的分布函数 F(x),则有
。
k
k
连续性随机变量, 若对于随机变量 X 的分布函数 F(x),若存在非负函数 f(x),使
p69
得对任意实数 x,有
, 则称 X 为连续型
随机变量。f(x)称为 X 的概率密度函数,简称概率密度。
定义:设 X 为一个随机变量,x 是任意实数,函数
称为随机变量
0 F(x) 1
(1)
0 P(x X x ) F(x ) F(x )
1
2
2
1
F() lim F(x) 0
,
;
F
(3)
x
x
是右连续的,即
(1) P X
a X b F(b) F(a)
(2) P
P X b 1- F(b) f x dx
(3)
,P71,例 16*
b
4
1. 分布律定义,p59
2. 分布律性质:(1)
p 1
p 0,k 1, 2,...
; (2)
k
k1
3.分类
是二项分布的特例,X 只取 0 或 1,P(X=1)=p, P(X=0)=q
k
k
nk
n
n
X ~ B(n,p)
当 n=1 时,即为(0-1)分布。
理解 p62例 7
泊松定理
k
k
k
n k
,实际计算中,当
n
n
n
n
n 20,p 0.05 时,可用上述公式(约等于),例 8,p63
泊松分布,p63
k
0
k 0,1, 2
,
,
k
!
,
f(x)也是 f(t)。概率密度的性质:
,
2)
+
f (x)dx 1
3)P a X b P a X b P a X b P a X b
b
f (x)dx
a
根据教材 p70,图 2-2,设 S 为 f(x)与 x 轴之间的面积,则 S=1。阴影部分面积 S1 总
是小等于 1,S1 值=概率值。实际中(或题意)x 或存在区域限制,比如 p70 例 14,p72
图 2-3,但是 S 总是等于 1.
求 f(x)
求 F(X)
应用题
F
2)
+
f (x)dx 1
{
}
p71,例 15
和
利
用
x
P71,例 17
5
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