### 21春南开大学《概率论与数理统计》在线作业参考答案解析
#### 题目一：袋中有4个白球和5个黑球，采用放回抽样，连续从中取出3个球，取到的球顺序为黑白黑的概率。
**解答：**
在放回抽样的情况下，每次取球时白球被取中的概率为\(4/9\)，黑球被取中的概率为\(5/9\)。因此，按照题目要求，取到的球的顺序为黑白黑的概率可以计算为：
\[
P(\text{黑白黑}) = \left(\frac{4}{9}\right) \times \left(\frac{5}{9}\right) \times \left(\frac{5}{9}\right) = \frac{100}{729}
\]
故选项 **B. 100/729** 正确。
#### 题目二：设 \(X \sim N(0, 1)\)，有常数 \(c\) 满足 \(P(X \geq c) = P(X < c)\)，求 \(c\) 的值。
**解答：**
由正态分布的对称性可知，若要使 \(P(X \geq c) = P(X < c)\)，则 \(c\) 必须位于分布的均值处。因为 \(X \sim N(0, 1)\)，所以均值为0，即 \(c = 0\)。
故选项 **B. 0** 正确。
#### 题目三：4本不同的书分给3个人，每人至少分得1本的概率。
**解答：**
此问题可通过排列组合来解决。将4本书分配给3个人，使得每个人至少得到一本书，可以通过“插板法”来计算。总的分配方法共有 \(3^4\) 种（每本书都有3种选择）。为了计算每个人至少得到一本书的情况数，可以使用容斥原理。具体来说，先算出至少一个人没有得到书的方法数，然后从中剔除至少两人没有得到书的情况数。最终结果为：
\[
\text{总情况数} - \text{至少一人没得到书的情况数} + \text{至少两人没得到书的情况数}
\]
- 总情况数：\(3^4 = 81\)
- 至少一人没得到书的情况数：\(C_3^1 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48\)
- 至少两人没得到书的情况数：\(C_3^2 \times 1^4 = 3\)
- 因此，符合条件的方法数为 \(81 - 48 + 3 = 36\)
因此，所求概率为 \(\frac{36}{81} = \frac{4}{9}\)。
故选项 **C. 4/9** 正确。
#### 题目四：设 \(X \sim N(2, \sigma^2)\)，\(P(2 < X < 4) = 0.4\)，求 \(P(0 < X < 2)\)。
**解答：**
由题意知，\(P(2 < X < 4) = 0.4\)，这意味着在标准正态分布中，\(X\) 落在 \(\mu = 2\) 和 \(\mu + 2\) 之间的概率为0.4。因为正态分布关于均值对称，所以 \(P(0 < X < 2)\) 即为 \(P(2 < X < 4)\)。
故选项 **C. 0.4** 正确。
#### 题目五：有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率。
**解答：**
1至100之间7的倍数有14个（7, 14, ..., 98）。因此，取到的卡号是7的倍数的概率为 \(\frac{14}{100} = \frac{7}{50}\)。
故选项 **A. 7/50** 正确。
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以上解析涵盖了题目中的关键知识点，并对每个问题进行了详细解答。这些知识点包括概率计算、正态分布、组合计数等基本概念，对于理解概率论与数理统计的基本原理非常重要。
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